Тренировочная работа №1 по МАТЕМАТИКЕ
9 класс
23 сентября 2026 года
Варианты МА2690101 и МА2690102
© СтатГрад 2026−2027 уч. г.
Примечание к текстовой версии: заголовки оформлены символами . Знак / обозначает деление, √ — квадратный корень, |x| — модуль, верхние индексы — степени, нижние индексы — обозначения точек. Рисунки из PDF находятся в папке risunki в архиве; к рисункам, существенным для условия, добавлены текстовые описания.
Инструкция по выполнению работы (общая для двух вариантов)
Работа состоит из двух частей, включающих в себя 25 заданий. Часть 1 содержит 19 заданий, часть 2 содержит 6 заданий с развёрнутым ответом.
На выполнение работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
ВАРИАНТ МА2690101
Часть 1
Ответами к заданиям 1–19 являются число или последовательность цифр.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5.
На рисунке изображён план сельской местности. Таня на летних каникулах приезжает в гости к дедушке в деревню Антоновку (на плане обозначена цифрой 1). В конце каникул дедушка на машине собирается отвезти Таню на автобусную станцию, которая находится в деревне Богданово. Из Антоновки в Богданово можно проехать по просёлочной дороге мимо реки. Есть другой путь — по шоссе до деревни Ванютино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Богданово. Третий маршрут проходит по просёлочной дороге мимо пруда до деревни Горюново, где можно свернуть на шоссе до Богданова. Четвёртый маршрут пролегает по шоссе до деревни Доломино, от Доломина до Горюнова по просёлочной дороге мимо конюшни и от Горюнова до Богданова по шоссе. Ещё один маршрут проходит по шоссе до деревни Егорки, по просёлочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилина и по шоссе от Жилина до Богданова. Шоссе и просёлочные дороги образуют прямоугольные треугольники.
Описание плана: по горизонтальному шоссе слева направо расположены точки 4, 3, 2, 1. От точки 4 вертикально вниз идёт другое шоссе; на нём сверху вниз расположены точки 5, 6, 7. Просёлочные дороги соединяют точки 1–7 (мимо реки), 1–6 (мимо пруда), 2–5 и 3–6 (мимо конюшни). Обозначения на плане: шоссе, просёлочная дорога, мост, река, пруд, конюшня.
По шоссе Таня с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч, а по просёлочным дорогам — со скоростью 30 км/ч. Расстояние от Антоновки до Доломина равно 12 км, от Доломина до Егорки — 4 км, от Егорки до Ванютина — 12 км, от Горюнова до Ванютина — 15 км, от Ванютина до Жилина — 9 км, а от Жилина до Богданова — 12 км.
Задания 1. Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены деревни. Заполните таблицу, в ответе запишите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
ДЕРЕВНИ — ЦИФРЫ
Ванютино — ______
Горюново — ______
Егорка — ______
Жилино — ______
Ответ: ___________________________.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесьЗадания 2. Найдите расстояние от Антоновки до Егорки по шоссе. Ответ дайте в километрах.
Ответ: ___________________________.
Задания 3. Найдите расстояние от Егорки до Жилина по прямой. Ответ дайте в километрах.
Ответ: ___________________________.
Задания 4. Сколько минут затратят Таня с дедушкой на дорогу из Антоновки в Богданово, если поедут мимо пруда через Горюново?
Ответ: ___________________________.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесьЗадания 5. На шоссе машина дедушки расходует 6,8 литра бензина на 100 км. Известно, что на путь из Антоновки до Богданова через Ванютино и на путь через Доломино и Горюново мимо конюшни ей необходим один и тот же объём бензина. Сколько литров бензина на 100 км машина дедушки расходует на просёлочных дорогах?
Ответ: ___________________________.
Задания 6. Найдите значение выражения:
1,4 / (1 + 1/13).
Ответ: ___________________________.
Задания 7. Одно из чисел √28, √33, √38, √47 отмечено на прямой точкой A.
Описание рисунка: на прямой отмечены числа 5, 6 и 7; точка A расположена между 5 и 6, ближе к 6.
Какое это число?
1) √28
2) √33
3) √38
4) √47
Ответ: ___________________________.
Задания 8. Найдите значение выражения:
(2² · 2⁴)⁷ / (2 · 2⁶)⁶.
Ответ: ___________________________.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесьЗадания 9. Решите уравнение 2(x − 3) = x + 3.
Ответ: ___________________________.
Задания 10. На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события B.
Текстовая запись дерева:
S → A: 0,25; S → A̅: 0,75.
A → B: 0,4; A → B̅: 0,6.
A̅ → B: 0,2; A̅ → B̅: 0,8.
A̅ и B̅ — события, противоположные A и B.
Ответ: ___________________________.
Задания 11. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
Описание графиков:
А) Ветви параболы направлены вниз; вершина находится левее оси y и выше оси x.
Б) Ветви параболы направлены вниз; вершина находится правее оси y и выше оси x.
В) Ветви параболы направлены вверх; вершина находится правее оси y и ниже оси x.
ФОРМУЛЫ
1) y = −3x² + 3x + 1
2) y = −3x² − 3x + 1
3) y = 3x² − 3x − 1
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А — ______; Б — ______; В — ______.
Ответ: ___________________________.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесьЗадания 12. Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ — плотность воды, g = 9,8 м/с² — ускорение свободного падения, а V — объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,6 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.
Ответ: ___________________________.
Задания 13. Укажите решение системы неравенств:
−10 + 2x > 0,
7 − 6x > −5.
1) нет решений
2) (5; +∞)
3) (2; 5)
4) (−∞; 2)
Ответ: ___________________________.
Задания 14. Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 20 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 4 секунды торможения?
Ответ: ___________________________.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесьЗадания 15. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C = 65° и BM = AM = MC.
Ответ: ___________________________.
Задания 16. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,28. Диаметр описанной около него окружности равен 25. Найдите площадь прямоугольника.
Ответ: ___________________________.
Задания 17. В равнобедренной трапеции ABCD угол D равен 56°. Найдите градусную меру угла ACD, если луч AC является биссектрисой угла BAD.
Ответ: ___________________________.
Задания 18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Описание рисунка: от нижней левой точки до верхней правой — 4 клетки вправо и 3 клетки вверх.
Ответ: ___________________________.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесьЗадания 19. Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
1) Если три угла одного треугольника равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2) Диагонали ромба равны.
3) Тангенс любого острого угла меньше единицы.
В ответе запишите номер истинного высказывания.
Ответ: ___________________________.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесьЧасть 2
При выполнении заданий 20–25 используйте отдельный лист бумаги. Сначала укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите чётко и разборчиво.
Задания 20. Найдите все корни уравнения x³ = 4x² − x.
Задания 21. Свежие фрукты содержат 87 % воды, а высушенные — 22 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 49 кг высушенных фруктов?
Задания 22. Постройте график функции
y = x|x| + |x| − 6x.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Задания 23. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 3, CK = 19.
Задания 24. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы AA₁C₁ и ACC₁ равны.
Задания 25. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 12, BC = 10.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесьВАРИАНТ МА2690102
Часть 1
Ответами к заданиям 1–19 являются число или последовательность цифр.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5.
На рисунке изображён план сельской местности. Таня на летних каникулах приезжает в гости к дедушке в деревню Антоновку (на плане обозначена цифрой 1). В конце каникул дедушка на машине собирается отвезти Таню на автобусную станцию, которая находится в деревне Богданово. Из Антоновки в Богданово можно проехать по просёлочной дороге мимо реки. Есть другой путь — по шоссе до деревни Ванютино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Богданово. Третий маршрут проходит по просёлочной дороге мимо пруда до деревни Горюново, где можно свернуть на шоссе до Богданова. Четвёртый маршрут пролегает по шоссе до деревни Доломино, от Доломина до Горюнова по просёлочной дороге мимо конюшни и от Горюнова до Богданова по шоссе. Ещё один маршрут проходит по шоссе до деревни Егорки, по просёлочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилина и по шоссе от Жилина до Богданова. Шоссе и просёлочные дороги образуют прямоугольные треугольники.
Описание плана: по горизонтальному шоссе слева направо расположены точки 4, 3, 2, 1. От точки 4 вертикально вниз идёт другое шоссе; на нём сверху вниз расположены точки 5, 6, 7. Просёлочные дороги соединяют точки 1–7 (мимо реки), 1–6 (мимо пруда), 2–5 и 3–6 (мимо конюшни). Обозначения на плане: шоссе, просёлочная дорога, мост, река, пруд, конюшня.
По шоссе Таня с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч, а по просёлочным дорогам — со скоростью 30 км/ч. Расстояние от Антоновки до Доломина равно 12 км, от Доломина до Егорки — 4 км, от Егорки до Ванютина — 12 км, от Горюнова до Ванютина — 15 км, от Ванютина до Жилина — 9 км, а от Жилина до Богданова — 12 км.
Задания 1. Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены деревни. Заполните таблицу, в ответе запишите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
ДЕРЕВНИ — ЦИФРЫ
Егорка — ______
Ванютино — ______
Доломино — ______
Жилино — ______
Ответ: ___________________________.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесьЗадания 2. Найдите расстояние от Доломина до Ванютина по шоссе. Ответ дайте в километрах.
Ответ: ___________________________.
Задания 3. Найдите расстояние от Доломина до Горюнова по прямой. Ответ дайте в километрах.
Ответ: ___________________________.
Задания 4. Сколько минут затратят Таня с дедушкой на дорогу из Антоновки в Богданово, если поедут через Доломино и Горюново мимо конюшни?
Ответ: ___________________________.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесьЗадания 5. На шоссе машина дедушки расходует 5,8 литра бензина на 100 км. Известно, что на путь из Антоновки до Богданова через Ванютино и на путь напрямик ей необходим один и тот же объём бензина. Сколько литров бензина на 100 км машина дедушки расходует на просёлочных дорогах?
Ответ: ___________________________.
Задания 6. Найдите значение выражения:
0,9 / (1 + 1/8).
Ответ: ___________________________.
Задания 7. Одно из чисел √37, √47, √50, √62 отмечено на прямой точкой A.
Описание рисунка: на прямой отмечены числа 6, 7 и 8; точка A расположена немного правее 6, между 6 и 7.
Какое это число?
1) √37
2) √47
3) √50
4) √62
Ответ: ___________________________.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесьЗадания 8. Найдите значение выражения:
(2² · 2⁶)⁵ / (2 · 2⁸)⁴.
Ответ: ___________________________.
Задания 9. Решите уравнение 2(x − 5) = x + 5.
Ответ: ___________________________.
Задания 10. На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события B.
Текстовая запись дерева:
S → A: 0,25; S → A̅: 0,75.
A → B: 0,2; A → B̅: 0,8.
A̅ → B: 0,6; A̅ → B̅: 0,4.
A̅ и B̅ — события, противоположные A и B.
Ответ: ___________________________.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесьЗадания 11. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
Описание графиков:
А) Ветви параболы направлены вверх; вершина находится левее оси y и ниже оси x.
Б) Ветви параболы направлены вниз; вершина находится правее оси y и выше оси x.
В) Ветви параболы направлены вниз; вершина находится левее оси y и выше оси x.
ФОРМУЛЫ
1) y = −2x² + 6x − 2
2) y = −2x² − 6x − 2
3) y = 2x² + 6x + 2
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А — ______; Б — ______; В — ______.
Ответ: ___________________________.
Задания 12. Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ — плотность воды, g = 9,8 м/с² — ускорение свободного падения, а V — объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,5 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.
Ответ: ___________________________.
Задания 13. Укажите решение системы неравенств:
−35 + 5x < 0,
6 − 3x > −18.
1) (7; 8)
2) (−∞; 7)
3) (−∞; 8)
4) (7; +∞)
Ответ: ___________________________.
Задания 14. Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 20 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?
Ответ: ___________________________.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесьЗадания 15. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C = 66° и BM = AM = MC.
Ответ: ___________________________.
Задания 16. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 5/13. Диаметр описанной около него окружности равен 26. Найдите площадь прямоугольника.
Ответ: ___________________________.
Задания 17. В равнобедренной трапеции ABCD угол D равен 58°. Найдите градусную меру угла ACD, если луч AC является биссектрисой угла BAD.
Ответ: ___________________________.
Задания 18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Описание рисунка: от нижней левой точки до верхней правой — 3 клетки вправо и 4 клетки вверх.
Ответ: ___________________________.
Задания 19. Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
1) В параллелограмме есть два равных угла.
2) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
3) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.
В ответе запишите номер истинного высказывания.
Ответ: ___________________________.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесьЧасть 2
При выполнении заданий 20–25 используйте отдельный лист бумаги. Сначала укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите чётко и разборчиво.
Задания 20. Найдите все корни уравнения x³ = 4x² − 2x.
Задания 21. Свежие фрукты содержат 79 % воды, а высушенные — 16 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?
Задания 22. Постройте график функции
y = x|x| + |x| − 5x.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Задания 23. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 6, CK = 10.
Задания 24. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.
Задания 25. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 20, BC = 15.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесьВАРИАНТ МА2690103
Часть 1
Ответами к заданиям 1–19 являются число или последовательность цифр.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5.
На рисунке изображён план сельской местности. Таня на летних каникулах приезжает в гости к дедушке в деревню Антоновку (на плане обозначена цифрой 1). В конце каникул дедушка на машине собирается отвезти Таню на автобусную станцию, которая находится в деревне Богданово. Из Антоновки в Богданово можно проехать по просёлочной дороге мимо реки. Есть другой путь — по шоссе до деревни Ванютино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Богданово. Третий маршрут проходит по просёлочной дороге мимо пруда до деревни Горюново, где можно свернуть на шоссе до Богданова. Четвёртый маршрут пролегает по шоссе до деревни Доломина, от Доломина до Горюнова по просёлочной дороге мимо конюшни и от Горюнова до Богданова по шоссе. Ещё один маршрут проходит по шоссе до деревни Егорки, по просёлочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилина и по шоссе от Жилина до Богданова. Шоссе и просёлочные дороги образуют прямоугольные треугольники.
Описание плана: по горизонтальному шоссе слева направо расположены точки 4, 3, 2, 1. От точки 4 вертикально вниз идёт другое шоссе; на нём сверху вниз расположены точки 5, 6, 7. Просёлочные дороги соединяют точки 1–7 (мимо реки), 1–6 (мимо пруда), 2–5 и 3–6 (мимо конюшни). Обозначения на плане: шоссе, просёлочная дорога, мост, река, пруд, конюшня.
По шоссе Таня с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч, а по просёлочным дорогам — со скоростью 30 км/ч. Расстояние от Антоновки до Доломина равно 12 км, от Доломина до Егорки — 4 км, от Егорки до Ванютина — 12 км, от Горюнова до Ванютина — 15 км, от Ванютина до Жилина — 9 км, а от Жилина до Богданова — 12 км.
**Задания 1.** Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены деревни. Заполните таблицу, в ответе запишите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
ДЕРЕВНИ — ЦИФРЫ
Богданово — ______
Горюново — ______
Доломино — ______
Егорка — ______
Ответ: ___________________________.
**Задания 2.** Найдите расстояние от Горюнова до Жилина по шоссе. Ответ дайте в километрах.
Ответ: ___________________________.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесь**Задания 3.** Найдите расстояние от Антоновки до Горюнова по прямой. Ответ дайте в километрах.
Ответ: ___________________________.
**Задания 4.** Сколько минут затратят Таня с дедушкой на дорогу из Антоновки в Богданово, если поедут через Егорку и Жилино мимо конюшни?
Ответ: ___________________________.
**Задания 5.** На шоссе машина дедушки расходует 6,5 литра бензина на 100 км. Известно, что на путь из Антоновки до Богданова через Ванютино и на путь через Горюново мимо пруда ей необходим один и тот же объём бензина. Сколько литров бензина на 100 км машина дедушки расходует на просёлочных дорогах?
Ответ: ___________________________.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесь**Задания 6.** Найдите значение выражения:
1,3 / (1 + 1/12).
Ответ: ___________________________.
**Задания 7.** Одно из чисел √28, √32, √39, √47 отмечено на прямой точкой A.
[Рисунок: risunki/MA2690103_zadanie_07.png]
Описание рисунка: на прямой отмечены числа 5, 6 и 7; точка A расположена между 5 и 6, ближе к 5.
Какое это число?
1) √28
2) √32
3) √39
4) √47
Ответ: ___________________________.
**Задания 8.** Найдите значение выражения:
(3² · 3⁵)⁶ / (3 · 3⁷)⁵.
Ответ: ___________________________.
**Задания 9.** Решите уравнение 2(x − 9) = x + 9.
Ответ: ___________________________.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесь**Задания 10.** На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события B.
[Рисунок: risunki/MA2690103_zadanie_10.png]
Текстовая запись дерева:
S → A: 0,25; S → A̅: 0,75.
A → B: 0,6; A → B̅: 0,4.
A̅ → B: 0,2; A̅ → B̅: 0,8.
A̅ и B̅ — события, противоположные A и B.
Ответ: ___________________________.
**Задания 11.** Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
Описание графиков:
А) Ветви параболы направлены вверх; вершина находится левее оси y и выше оси x.
Б) Ветви параболы направлены вверх; вершина находится правее оси y и выше оси x.
В) Ветви параболы направлены вниз; вершина находится левее оси y и ниже оси x.
ФОРМУЛЫ
1) y = x² − 7x + 14
2) y = x² + 7x + 14
3) y = −x² − 7x − 14
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А — ______; Б — ______; В — ______.
Ответ: ___________________________.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесь**Задания 12.** Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ — плотность воды, g = 9,8 м/с² — ускорение свободного падения, а V — объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,7 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.
Ответ: ___________________________.
**Задания 13.** Укажите решение системы неравенств:
−9 + 3x < 0,
2 − 3x > −10.
1) (−∞; 3)
2) (−∞; 4)
3) (3; +∞)
4) (3; 4)
Ответ: ___________________________.
**Задания 14.** Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 24 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 5 секунд торможения?
Ответ: ___________________________.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесь**Задания 15.** В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C = 68° и BM = AM = MC.
Ответ: ___________________________.
**Задания 16.** Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 8/17. Диаметр описанной около него окружности равен 34. Найдите площадь прямоугольника.
Ответ: ___________________________.
**Задания 17.** В равнобедренной трапеции ABCD угол D равен 54°. Найдите градусную меру угла ACD, если луч AC является биссектрисой угла BAD.
Ответ: ___________________________.
**Задания 18.** На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Описание рисунка: от верхней левой точки до нижней правой — 3 клетки вправо и 4 клетки вниз.
Ответ: ___________________________.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесь**Задания 19.** Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
1) В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.
2) Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то этот ромб является квадратом.
3) Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
В ответе запишите номера истинных высказываний без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Ответ: ___________________________.
Часть 2
При выполнении заданий 20–25 используйте отдельный лист бумаги. Сначала укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите чётко и разборчиво.
**Задания 20.** Найдите все корни уравнения x³ = 2x² + x.
**Задания 21.** Свежие фрукты содержат 88 % воды, а высушенные — 25 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 44 кг высушенных фруктов?
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесь**Задания 22.** Постройте график функции
y = x|x| + 3|x| − 5x.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
**Задания 23.** Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 8, CK = 13.
**Задания 24.** В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁A₁ и CAA₁ равны.
**Задания 25.** В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 12, BC = 9.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесьВАРИАНТ МА2690104
Часть 1
Ответами к заданиям 1–19 являются число или последовательность цифр.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5.
На рисунке изображён план сельской местности. Таня на летних каникулах приезжает в гости к дедушке в деревню Антоновку (на плане обозначена цифрой 1). В конце каникул дедушка на машине собирается отвезти Таню на автобусную станцию, которая находится в деревне Богданово. Из Антоновки в Богданово можно проехать по просёлочной дороге мимо реки. Есть другой путь — по шоссе до деревни Ванютино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Богданово. Третий маршрут проходит по просёлочной дороге мимо пруда до деревни Горюново, где можно свернуть на шоссе до Богданова. Четвёртый маршрут пролегает по шоссе до деревни Доломино, от Доломина до Горюнова по просёлочной дороге мимо конюшни и от Горюнова до Богданова по шоссе. Ещё один маршрут проходит по шоссе до деревни Егорки, по просёлочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилина и по шоссе от Жилина до Богданова. Шоссе и просёлочные дороги образуют прямоугольные треугольники.
Описание плана: по горизонтальному шоссе слева направо расположены точки 4, 3, 2, 1. От точки 4 вертикально вниз идёт другое шоссе; на нём сверху вниз расположены точки 5, 6, 7. Просёлочные дороги соединяют точки 1–7 (мимо реки), 1–6 (мимо пруда), 2–5 и 3–6 (мимо конюшни). Обозначения на плане: шоссе, просёлочная дорога, мост, река, пруд, конюшня.
По шоссе Таня с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч, а по просёлочным дорогам — со скоростью 30 км/ч. Расстояние от Антоновки до Доломина равно 12 км, от Доломина до Егорки — 4 км, от Егорки до Ванютина — 12 км, от Горюнова до Ванютина — 15 км, от Ванютина до Жилина — 9 км, а от Жилина до Богданова — 12 км.
**Задания 1.** Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены деревни. Заполните таблицу, в ответе запишите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
ДЕРЕВНИ — ЦИФРЫ
Богданово — ______
Ванютино — ______
Егорка — ______
Жилино — ______
Ответ: ___________________________.
**Задания 2.** Найдите расстояние от Ванютина до Богданова по шоссе. Ответ дайте в километрах.
Ответ: ___________________________.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесь**Задания 3.** Найдите расстояние от Антоновки до Богданова по прямой. Ответ дайте в километрах.
Ответ: ___________________________.
**Задания 4.** Сколько минут затратят Таня с дедушкой на дорогу из Антоновки в Богданово, если поедут напрямик?
Ответ: ___________________________.
**Задания 5.** На шоссе машина дедушки расходует 5,5 литра бензина на 100 км. Известно, что на путь из Антоновки до Богданова через Ванютино и на путь через Егорку и Жилино мимо конюшни ей необходим один и тот же объём бензина. Сколько литров бензина на 100 км машина дедушки расходует на просёлочных дорогах?
Ответ: ___________________________.
**Задания 6.** Найдите значение выражения:
0,8 / (1 + 1/7).
Ответ: ___________________________.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесь**Задания 7.** Одно из чисел √17, √22, √28, √32 отмечено на прямой точкой A.
[Рисунок: risunki/MA2690104_zadanie_07.png]
Описание рисунка: на прямой отмечены числа 4, 5 и 6; точка A расположена немного правее 4, между 4 и 5.
Какое это число?
1) √17
2) √22
3) √28
4) √32
Ответ: ___________________________.
**Задания 8.** Найдите значение выражения:
(3³ · 3⁵)⁶ / (3 · 3⁸)⁵.
Ответ: ___________________________.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесь**Задания 9.** Решите уравнение 2(x − 10) = x + 10.
Ответ: ___________________________.
**Задания 10.** На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события B.
[Рисунок: risunki/MA2690104_zadanie_10.png]
Текстовая запись дерева:
S → A: 0,25; S → A̅: 0,75.
A → B: 0,6; A → B̅: 0,4.
A̅ → B: 0,8; A̅ → B̅: 0,2.
A̅ и B̅ — события, противоположные A и B.
Ответ: ___________________________.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесь**Задания 11.** Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
Описание графиков:
А) Ветви параболы направлены вверх; вершина находится левее оси y и ниже оси x.
Б) Ветви параболы направлены вниз; вершина находится правее оси y и выше оси x.
В) Ветви параболы направлены вверх; вершина находится правее оси y и ниже оси x.
ФОРМУЛЫ
1) y = x² + 2x − 3
2) y = x² − 2x − 3
3) y = −x² + 2x + 3
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А — ______; Б — ______; В — ______.
Ответ: ___________________________.
**Задания 12.** Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ — плотность воды, g = 9,8 м/с² — ускорение свободного падения, а V — объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,8 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.
Ответ: ___________________________.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесь**Задания 13.** Укажите решение системы неравенств:
−12 + 3x < 0,
9 − 4x > −23.
1) (−∞; 8)
2) (−∞; 4)
3) (4; 8)
4) (4; +∞)
Ответ: ___________________________.
**Задания 14.** Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 24 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?
Ответ: ___________________________.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесь**Задания 15.** В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C = 71° и BM = AM = MC.
Ответ: ___________________________.
**Задания 16.** Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,96. Диаметр описанной около него окружности равен 25. Найдите площадь прямоугольника.
Ответ: ___________________________.
**Задания 17.** В равнобедренной трапеции ABCD угол D равен 52°. Найдите градусную меру угла ACD, если луч AC является биссектрисой угла BAD.
Ответ: ___________________________.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесь**Задания 18.** На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Описание рисунка: от верхней левой точки до нижней правой — 4 клетки вправо и 3 клетки вниз.
Ответ: ___________________________.
**Задания 19.** Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
1) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
3) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
В ответе запишите номера истинных высказываний без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Ответ: ___________________________.
Часть 2
При выполнении заданий 20–25 используйте отдельный лист бумаги. Сначала укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите чётко и разборчиво.
**Задания 20.** Найдите все корни уравнения x³ = 4x² + x.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесь**Задания 21.** Свежие фрукты содержат 86 % воды, а высушенные — 24 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 42 кг высушенных фруктов?
**Задания 22.** Постройте график функции
y = x|x| − |x| − 6x.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
**Задания 23.** Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 9, CK = 15.
**Задания 24.** В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что углы BB₁C₁ и BCC₁ равны.
**Задания 25.** В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 4, BC = 2.
Актуальные задания, ответы и другие материалы — здесь