Олимпиада ВСОШ по математике 5 6 7 8 9 10 11 класс, муниципальный этап для Московской области (50 регион) и Белгородской области (31 регион) на 08.11.2025 г. Включает в себя авторский разбор вопросов для всех класса. Материалы являются официальными взяты и опубликованы в ознакомительных целях
Скачать можно - https://t.me/addlist/ZEPpKgnkv9dmNDBi
Скачать можно - https://t.me/addlist/ZEPpKgnkv9dmNDBi
5 класс
5.1. В школьном буфете пицца стоит 45 рублей, пирожок – 12 рублей, а пирожное – 18
рублей. Два друга купили в буфете 5 кулинарных изделий и заплатили за них 132 рубля.
Какие покупки они сделали? Приведите пример.
Ответ. 2 пиццы, 1 пирожное и 2 пирожка.
Решение. Если бы пицца не приобреталась, то максимальная стоимость покупки была
бы не больше 185=90 рублей, что меньше 132 Друзья купили две пиццы, так как общая
стоимость покупки – чётное число и общая стоимость купленных пирожков и
пирожных – чётное число (стоимость 4 пицц равна 180 рублям, что больше 142 рублей).
Тогда стоимость трех оставшихся изделий равна 42 рублям. Простой перебор
показывает, что единственный вариант: 42 = 12+12+18.
Замечание. Также можно было бы заметить, что если бы ребята купили 1 пиццу, то
покупка стоила бы не больше 117 рублей, а 3 пиццы – не меньше 159 рублей.
Комментарий. За правильный пример ставится 7 баллов. В этой задаче обосновывать
построение примера по условию не требуется.
5.2. Девять сладкоежек купили 5 пирогов. Каждый пирог разрезали на 6 или 8 кусочков.
Все съели одинаковое количество кусочков и ничего не осталось. По сколько кусочков
съел каждый из сладкоежек?
Ответ. 4
Решение. Если каждый пирог разрезать на 6 кусочков, то всего получится 30 кусочков,
а если каждый пирог разрезать на 8 кусочков, то всего получится 40 кусочков. То есть
количество кусочков не меньше 30 и не больше 40 Если все 9 сладкоежек съели
одинаковое количество кусочков, то общее количество кусочков делится на 9 Но
единственное делящееся на 9 число между 30 и 40 – это 36 Значит, каждый сладкоежка
съел по 4 кусочка пирога.
Комментарий. Верный ответ без обоснования – 0 баллов.
Верный ответ получен рассмотрением примера – 2 балла.
Замечено, что общее количество кусочков не меньше 30 и не больше 40 – 3 балла.
Замечено, что общее количество кусочков делится на 9 – 3 балла.
5.3. Можно ли записать в некоторые клетки таблицы 66 числа от 1 до 11 (каждое из
этих 11 чисел ровно один раз) так, чтобы сумма чисел в любой строке и сумма чисел в
любом столбце были бы меньше 13?
Ответ. Можно.
Решение. Один из возможных примеров расстановки чисел показан в таблице.
Скачать можно - https://t.me/addlist/ZEPpKgnkv9dmNDBi
Скачать можно - https://t.me/addlist/ZEPpKgnkv9dmNDBi
6 класс
6.1. Аня, Боря и Вася ходили за грибами. Вернувшись, они сказали следующие фразы.
Аня: «Мы с Борей вдвоём набрали 17 грибов»; Боря: «Мы с Васей вдвоём набрали 34
гриба», Вася: «Мы с Аней вдвоём набрали 15 грибов». Мама сказала им: «Кто-то из вас
ошибся.» Почему она так решила?
Решение. Предположим, что все дети не ошиблись. Так как Аня сказала, что они с
Борей вдвоём набрали 17 грибов, то Боря набрал не больше 17 грибов. Так как Вася
сказал, что они с Аней вдвоём набрали 15 грибов, то Вася набрал не больше 15 грибов.
Значит, Боря и Вася вместе набрали не больше 15+17=32 грибов, что меньше 34 Значит,
кто-то точно ошибся.
6.2. Можно ли разрезать клетчатый квадрат 55 на 5 различных клетчатых
прямоугольников, не являющихся квадратами?
Ответ. Можно.
Решение. Один из возможных примеров разрезания показан на рисунке.
Комментарий. Верный ответ без обоснования – 0 баллов.
Любой верный пример разрезания – 7 баллов.
Любой неверный пример разрезания (другое количество прямоугольников, есть
квадраты или одинаковые фигурки) – 0 баллов.
6.3. В банке можно положить вклад на месяц под фиксированный процент. В конце
месяца банк начислит проценты, а потом округлит (по обычным правилам)
начисленную сумму до целого числа рублей. У Васи и Пети одинаковые суммы денег.
Вася разделил свои деньги на две равные части и открыл два вклада, а Петя положил
все свои деньги на один вклад. Может ли оказаться, что после выплаты процентов сумма
у Васи будет больше суммы у Пети?
Ответ. Может.
Решение. Пусть после начисления процентов у Васи на каждом из вкладов начислилось
(с процентами) 1000,6 рублей, тогда после округления на каждом из двух его вкладов
окажется 1001 рубль, то есть всего у Васи будет 2002 рубля. У Пети должна начислиться
сумма 21000,6=2001,2 рубля. После округления у него будет 2001 рубль.
Комментарий. Пример может быть другим, нужно его проверить.
Скачать можно - https://t.me/addlist/ZEPpKgnkv9dmNDBi
Скачать можно - https://t.me/addlist/ZEPpKgnkv9dmNDBi
7 класс
7.1. В шестизначном числе пронумеровали слева направо все цифры числами от 1 до 6,
после чего все цифры с чётными номерами в том же порядке переставили на первые три
места, а все цифры с нечётными номерами в том же порядке переставили на последние
три места. Получившееся число совпало с исходным. Какое наибольшее количество
различных цифр может быть в таком числе?
Ответ. 2
Решение. Обозначим это шестизначное число через a1a2a3a4a5a6 . Тогда по условию оно
совпадает с числом a2a4a6a1a3a5 . Значит, a = a = a и a = a = a . Таким образом, 1
2
4
3
6
5
различных цифр не более двух. В качестве примера числа с двумя различными цифрами
подойдёт число 112122
Комментарий. Верный ответ без обоснования – 0 баллов.
Доказано, что различных цифр не больше двух – 5 баллов.
Приведен пример числа с двумя различными цифрами – 2 балла.
7.2. Найдите наименьшее число, начинающееся с цифр 1234567 и делящееся на 225
Ответ. 1234567125
Решение. Искомое число должно делиться на 9 и на 25, то есть оканчиваться на 00 или
на 25 или на 50 или на 75, и сумма цифр числа должна делиться на 9 У числа 1234567
сумма цифр дает остаток 1 при делении на 9, то есть нам нужно приписать справа такие
цифры, чтобы они давали число, делящееся на 25 и с суммой цифр, дающей остаток 8
при делении на 9 Наименьшее такое число – это 125 (дописать одну или две цифры при
данных ограничениях невозможно).
Комментарий. Верный ответ без обоснования – 3 балла.
7.3. В банке можно положить вклад на месяц под фиксированный процент. В конце
месяца банк начислит проценты, а потом округлит (по обычным правилам)
начисленную сумму до целого числа рублей. У Васи и Пети одинаковые суммы денег.
Вася разделил свои деньги на две равные части и открыл два вклада, а Петя положил
все свои деньги на один вклад. Может ли оказаться, что после выплаты процентов сумма
у Васи будет меньше суммы у Пети?
Ответ. Может.
Решение. Пусть после начисления процентов у Васи на каждом из вкладов начислилось
(с процентами) 1000,4 рублей, тогда после округления на каждом из двух его вкладов
окажется 1000 рублей, то есть всего у Васи будет 2000 рублей. У Пети должна
начислиться сумма 21000,4=2000,8 рублей. После округления у него будет 2001 рубль.
Комментарий. Пример может быть другим, нужно его проверить.
Скачать можно - https://t.me/addlist/ZEPpKgnkv9dmNDBi
Скачать можно - https://t.me/addlist/ZEPpKgnkv9dmNDBi
8 класс
8.1. В десятизначном числе пронумеровали слева направо все цифры числами от 1 до
10, после чего все цифры с чётными номерами в том же порядке переставили на первые
пять мест, а все цифры с нечётными номерами в том же порядке переставили на
последние 5 мест. Получившееся число совпало с исходным. Какое наибольшее
количество различных цифр может быть в таком числе?
Ответ. 1
Решение. Обозначим это десятизначное число через a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10 . Тогда по
условию
оно
совпадает
с
числом
a2a4a6a8a10a1a3a5a7a9 .
Значит,
a1 = a2 = a = a = a = a = a = a = a = a , то есть все цифры обязаны быть одинаковыми.
Число, состоящее из 10 одинаковых цифр, подходит.
Комментарий. Верный ответ без обоснования – 0 баллов.
Доказано, что все цифры обязаны быть одинаковыми, но не сказано, что число,
состоящее из 10 одинаковых цифр, подходит – баллы не снимаются.
8.2. На биссектрисе острого угла ABC отмечены точки D и E так, что AB = BD = AE и
DE = BC (точка D лежит между B и E). Докажите, что AD = CD.
Решение. Поскольку AB = AE, то треугольник ABE равнобедренный, значит AEB =
ABE, а поскольку BE – биссектриса угла ABC, то AEB = ABE = EBC. Рассмотрим
треугольники AED и DBC. Стороны AE и BD, а также DE и BC равны по условию, и
углы AED и DBC равны по ранее доказанному. Значит, эти треугольники равны по
первому признаку равенства треугольников. Откуда AD = CD, что и требовалось.
Скачать можно - https://t.me/addlist/ZEPpKgnkv9dmNDBi
Скачать можно - https://t.me/addlist/ZEPpKgnkv9dmNDBi
9 класс
9.1. Дан квадратный трёхчлен f (x) . Известно, что линейная функция y = f (x +1)− f (x)
обращается в ноль только при x = 2024 . При каком значении аргумента обращается в
ноль функция y = f (x −1)− f (x) ?
Ответ. x = 2025 .
Решение. Обозначим линейную функцию f (x +1) − f (x) за g(x) . По условию имеем
g(2024) = 0 . Заметим, что функция h(x) = f (x −1)− f (x) = −g(x −1) . Значит, h(x) = 0 , тогда и
только тогда, когда −g(x −1) = 0 , что в свою очередь равносильно x −1= 2024 , то есть
x = 2025 .
Комментарий. Верный ответ без обоснования – 0 баллов.
9.2. На доске написаны четыре числа: 2, 3, 4 и 9 За один шаг можно выбрать любые три
из них, первое умножить на 2, второе – на 4, а третье – на 6 (при этом три старых числа
стирают, а на их место записывают три новых). Можно ли через несколько шагов
получить на доске четыре равных числа?
Ответ. Нельзя.
Решение. Произведение изначальных чисел на доске равнялось 23·33 , а после каждой
операции оно увеличивается в 2·4·6 = 24·31 раз, поэтому после n таких операций
произведение чисел на доске будет равно 23+4n·33+n . Если после нескольких таких
операций получились четыре равных числа, то их произведение имеет вид 24 ∙ 34 , для
натуральных x и y. Но число 3+ 4n не может равняться 4x, так как не делится на 4,
получаем противоречие.
Комментарий. Верный ответ без обоснования – 0 баллов.
9.3.
Найдите
значение
суммы
S = (12 +1·3+32)+ (32 +3·5+52)+ (52 +5·7+ 72)+
+ (972 +97·99+ 992)+ (992 + 99·101+1012) .
1013 −13
Ответ.
= 515150 .
2
b3 − a3
Решение.
Заметим,
что
a2 + ab + b2 =
.
Тогда
b − a
33 −13
53 − 33
1013 − 993
1013 −13
S =
+
++
=
= 515150 .
3−1
5− 3
101− 99
2
1013 −13
Комментарий. Ответ записан в виде
– баллы не снимаются.
2
Скачать можно - https://t.me/addlist/ZEPpKgnkv9dmNDBi
Скачать можно - https://t.me/addlist/ZEPpKgnkv9dmNDBi
10 класс
10.1. Вася написал на доске несколько различных двузначных чисел. Оказалось, что
сумма никаких двух из написанных на доске чисел не равна 90 Какое максимальное
количество чисел мог написать Вася?
Ответ. 55
Решение. Заметим, что из каждой из 35 пар чисел 10-80, 11-79, 12-78, …, 44-46 на доске
могло быть записано не более одного числа. Значит, по крайней мере 35 двузначных
чисел из всех двузначных (от 10 до 99) не будут написаны. То есть на доске будет
написано не более 90–35=55 чисел.
Если на доске написать числа 45, 46, 47, …, 99, то сумма никаких двух из них не равна
90, а этих чисел 55
Комментарий. Верный ответ без обоснования – 0 баллов.
Доказано, что может быть выписано не более 55 чисел – 5 баллов.
Приведен пример 55 чисел – 2 балла.
10.2. Дан квадратный трёхчлен f (x) . Известно, что существуют пары различных чисел
f (m)
m
(m,k) таких, что
=
. Назовем такие пары хорошими. Докажите, что значение
f (k)
k
выражения ∙ во всех хороших парах одинаково.
f (m)
am2 + bm + c
m
Решение. Пусть f (x) = ax2 +bx + c (a 0) . Тогда
=
=
. Домножив на
f (k)
ak 2 + bk + c
k
знаменатели,
получим
am2k +bmk + ck = ak2m+bkm+ cm .
Это
равенство
можно
преобразовать к виду (amk − c)(m− k) = 0 . Так как m k , то amk = c , откуда произведение
c
mk =
– одинаковое для любой пары.
a
Комментарий. При преобразовании равенств произведено деление обеих частей
равенства на (m− k) , но не указано, что это выражение ненулевое – снять 2 балла.
10.3. На доске были написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа.
Коля вычел из каждого исходного числа 1, затем сложил модули всех получившихся
чисел, и получил сумму S1 . Вася вычел из каждого исходного числа на доске 2, затем
сложил модули всех получившихся чисел, и получил сумму S2 . Наконец Андрей вычел
из каждого исходного числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел,
и получил сумму S3 . Сколько двоек было написано на доске?
S − 2S + S
Ответ.
3
2
1 .
2
Решение. Пусть сумма всех чисел на доске равна S, их количество равно n, а количества
нулей, единиц, двоек на доске равны соответственно a, b, c. Тогда S1 = S − n + 2a , так как
каждое число, отличное от нуля, уменьшилось на 1, а ноль, напротив, превратился в
Скачать можно - https://t.me/addlist/ZEPpKgnkv9dmNDBi
Скачать можно - https://t.me/addlist/ZEPpKgnkv9dmNDBi
11 класс
11.1. При каком наименьшем n в некоторые клетки таблицы n n можно вписать числа
от 1 до 9 (каждое из этих девяти чисел ровно один раз) так, чтобы сумма чисел в любой
строке и сумма чисел в любом столбце были бы меньше 11?
Ответ. 5
Решение. Каждое из чисел от 5 до 9 должно находиться в отдельной строке, так как
сумма даже двух любых из этих чисел не меньше 11 Значит, n 5 Для n=5 можно
построить пример такой таблицы.
9
1
8
2
7
3
6
4
5
Комментарий. Верный ответ без обоснования – 0 баллов.
Доказано, что n 5 – 4 балла.
Приведен пример таблицы для n=5 – 3 балла.
11.2. Найдите значение суммы
S = (12 +1·4+ 42)+ (42 + 4·7+72)+ (72 +7·10+102)+ + (942 +94·97+ 972)+ (972 + 97·100+1002)
1003 −13
Ответ.
= 333333 .
3
b3 − a3
Решение.
Заметим,
что
a2 + ab + b2 =
.
Тогда
b − a
43 −13
73 − 43
1003 − 973
1003 −13
S =
+
++
=
= 333333 .
4 −1
7 − 4
100 − 97
3
1003 −13
Комментарий. Ответ записан в виде
– баллы не снимаются.
3
11.3. Есть 100 карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 100 (каждое –
по одному разу). Можно ли их разбить на 25 наборов по 4 карточки так, чтобы в каждом
из наборов число на одной из карточек было бы либо в 2 раза, либо в 5 раз меньше, чем
сумма чисел трех оставшихся карточек набора?
Ответ. Нельзя.
Решение. Предположим, что разбиение возможно. Тогда заметим, что в каждом из
наборов сумма чисел на всех 4 карточках делится на 3 Но тогда и сумма всех 100 чисел
должна делиться на 3 Но сумма чисел от 1 до 100 равна 5050 и на 3 не делится.
Противоречие.