В подборке собраны задания и разборы школьного этапа ВсОШ «Взлёт» по математике для учащихся 9 класса Московской области (50 регион) от 26 сентября 2026 года. Материалы включают задачи по алгебре и геометрии, уравнениям и системам, числовым закономерностям, делимости, функциям и логическим рассуждениям. Также представлены нестандартные олимпиадные задачи, требующие глубокого анализа, грамотного обоснования и поиска рациональных способов решения.
МАТЕМАТИКА. 9 КЛАСС. ВАРИАНТЫ 1–5
**Вариант 1.**
**Задание 1.** Купля-продажа
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Петя хочет перепродать Васе игровую приставку, но Вася готов купить её у Пети только со скидкой **20%** от назначенной Петей цены. Петя подумал о том, что даже в этом случае он получит от перепродажи **20%** прибыли относительно закупочной цены, и согласился на сделку. На сколько процентов дороже закупочной цены Петя хотел продать Васе приставку изначально?
Скачать полные задания и ответы
**Задание 2.** Вписанный четырёхугольник
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Четырёхугольник **ABCD** вписан в окружность с центром в точке **O**, причём точка **O** лежит внутри четырёхугольника. Оказалось, что угол **DAB** равен **108°**, угол **BOC** равен **90°**.
Найдите градусную меру угла **OCD**.
Скачать полные задания и ответы
**Задание 3.** Раскраска полосы
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Некоторые клетки (хотя бы одну) клетчатого поля размером **3×8** клеток закрасили в красный цвет. Получилось так, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Какое минимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
2. Какое максимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Скачать полные задания и ответы
**Задание 4.** Разбиение четырёхугольника
В качестве ответа вводите число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Диагонали разбили выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника, площади трёх из которых равны **6** см², **8** см² и **12** см². Найдите площадь четвёртого треугольника.
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Найдите сумму всех возможных значений площади четвёртого треугольника.
Скачать полные задания и ответы
**Задание 5.** Разность квадратов
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3.
Число **21609** представили в виде разности квадратов двух натуральных чисел **x** и **y**:
**21609 = x² − y²**.
1. Сколькими способами это можно сделать?
2. Чему равно наибольшее возможное значение **x**?
3. Чему равно наименьшее возможное значение **y**?
Скачать полные задания и ответы
**Задание 6.** Дружный класс
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В одном очень дружном классе принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришло **16** учеников дружного класса, и суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу?
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу? Если у Вас получилось несколько вариантов ответа, то запишите ответ, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов.
Скачать полные задания и ответы
**Задание 7.** Число в квадрате
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В квадрате записаны **9** цифр так, как это показано на рисунке.
Сергей хочет составить число, подчиняющееся следующим правилам:
1) все цифры этого числа различны;
2) оно больше **1000000**;
3) любые две соседние цифры числа должны быть соседними по стороне цифрами в данной таблице.
2 9 7
4 1 6
3 8 5
1. Какое наименьшее число может получить Сергей?
2. Какое число наибольшее может получить Сергей?
Скачать полные задания и ответы
**Задание 8.** Физики и математики
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Сергей Александрович ведёт занятия в двух школьных кружках: «Олимпиадная математика» и «Олимпиадная физика». Каждый из **20** учеников его класса занимается хотя бы в одном из двух этих кружков. Математику посещает **12** учеников, а физику – только **10**. Для участия в командном школьном турнире по математике нужно выбрать каких-то трёх учеников, занимающихся в кружке «Олимпиадная математика», а для участия в турнире по физике – троих участников кружка «Олимпиадная физика». Так как турниры проходят в один день и в одно время, то одних и тех же ребят привлечь к обоим состязаниям нельзя.
1. Сколькими способами можно собрать только команду на турнир по физике?
2. Сколькими способами можно собрать две команды (одна команда физиков и одна команда математиков) для двух этих турниров?
Скачать полные задания и ответы
**Вариант 2.**
**Задание 1.** Купля-продажа
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Петя хочет перепродать Васе игровую приставку, но Вася готов купить её у Пети только со скидкой **25%** от назначенной Петей цены. Петя подумал о том, что даже в этом случае он получит от перепродажи **5%** прибыли относительно закупочной цены, и согласился на сделку. На сколько процентов дороже закупочной цены Петя хотел продать Васе приставку изначально?
Скачать полные задания и ответы
**Задание 2.** Вписанный четырёхугольник
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Четырёхугольник **ABCD** вписан в окружность с центром в точке **O**, причём точка **O** лежит внутри четырёхугольника. Оказалось, что угол **DAB** равен **100°**, угол **BOC** равен **70°**.
Найдите градусную меру угла **OCD**.
Скачать полные задания и ответы
**Задание 3.** Раскраска полосы
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Некоторые клетки (хотя бы одну) клетчатого поля размером **3×11** клеток закрасили в красный цвет. Получилось так, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Какое минимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
2. Какое максимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Скачать полные задания и ответы
**Задание 4.** Разбиение четырёхугольника
В качестве ответа вводите число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Диагонали разбили выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника, площади трёх из которых равны **12** см², **24** см² и **36** см². Найдите площадь четвёртого треугольника.
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Найдите сумму всех возможных значений площади четвёртого треугольника.
Скачать полные задания и ответы
**Задание 5.** Дружный класс
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В одном очень дружном классе принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришло **25** учеников дружного класса, и суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу?
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу? Если у Вас получилось несколько вариантов ответа, то запишите ответ, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов.
Скачать полные задания и ответы
**Задание 6.** Число в квадрате
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В квадрате записаны **9** цифр так, как это показано на рисунке.
Сергей хочет составить число, подчиняющееся следующим правилам:
1) все цифры этого числа различны;
2) оно больше **1000000**;
3) любые две соседние цифры числа должны быть соседними по стороне цифрами в данной таблице.
2 9 4
7 1 8
6 3 5
1. Какое наименьшее число может получить Сергей?
2. Какое число наибольшее может получить Сергей?
Скачать полные задания и ответы
**Задание 8.** Разность квадратов
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3.
Число **3969** представили в виде разности квадратов двух натуральных чисел **x** и **y**:
**3969 = x² − y²**.
1. Сколькими способами это можно сделать?
2. Чему равно наибольшее возможное значение **x**?
3. Чему равно наименьшее возможное значение **y**?
Скачать полные задания и ответы
**Вариант 3.**
**Задание 1.** Купля-продажа
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Петя хочет перепродать Васе игровую приставку, но Вася готов купить её у Пети только со скидкой **10%** от назначенной Петей цены. Петя подумал о том, что даже в этом случае он получит от перепродажи **35%** прибыли относительно закупочной цены, и согласился на сделку. На сколько процентов дороже закупочной цены Петя хотел продать Васе приставку изначально?
Скачать полные задания и ответы
**Задание 2.** Вписанный четырёхугольник
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Четырёхугольник **ABCD** вписан в окружность с центром в точке **O**, причём точка **O** лежит внутри четырёхугольника. Оказалось, что угол **DAB** равен **120°**, угол **BOC** равен **90°**.
Найдите градусную меру угла **OCD**.
Скачать полные задания и ответы
**Задание 3.** Раскраска полосы
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Некоторые клетки (хотя бы одну) клетчатого поля размером **3×10** клеток закрасили в красный цвет. Получилось так, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Какое минимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
2. Какое максимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Скачать полные задания и ответы
**Задание 4.** Разбиение четырёхугольника
В качестве ответа вводите число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Диагонали разбили выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника, площади трёх из которых равны **6** см², **10** см² и **15** см². Найдите площадь четвёртого треугольника.
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Найдите сумму всех возможных значений площади четвёртого треугольника.
Скачать полные задания и ответы
**Задание 5.** Дружный класс
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В одном очень дружном классе принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришло **36** учеников дружного класса, и суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу?
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу? Если у Вас получилось несколько вариантов ответа, то запишите ответ, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов.
Скачать полные задания и ответы
**Задание 6.** Число в квадрате
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В квадрате записаны **9** цифр так, как это показано на рисунке.
Сергей хочет составить число, подчиняющееся следующим правилам:
1) все цифры этого числа различны;
2) оно больше **1000000**;
3) любые две соседние цифры числа должны быть соседними по стороне цифрами в данной таблице.
1 7 2
9 3 8
4 6 5
1. Какое наименьшее число может получить Сергей?
2. Какое число наибольшее может получить Сергей?
Скачать полные задания и ответы
**Задание 8.** Разность квадратов
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3.
Число **5625** представили в виде разности квадратов двух натуральных чисел **x** и **y**:
**5625 = x² − y²**.
1. Сколькими способами это можно сделать?
2. Чему равно наибольшее возможное значение **x**?
3. Чему равно наименьшее возможное значение **y**?
Скачать полные задания и ответы
**Вариант 4.**
**Задание 1.** Купля-продажа
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Петя хочет перепродать Васе игровую приставку, но Вася готов купить её у Пети только со скидкой **25%** от назначенной Петей цены. Петя подумал о том, что даже в этом случае он получит от перепродажи **35%** прибыли относительно закупочной цены, и согласился на сделку. На сколько процентов дороже закупочной цены Петя хотел продать Васе приставку изначально?
Скачать полные задания и ответы
**Задание 2.** Вписанный четырёхугольник
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Четырёхугольник **ABCD** вписан в окружность с центром в точке **O**, причём точка **O** лежит внутри четырёхугольника. Оказалось, что угол **DAB** равен **110°**, угол **BOC** равен **80°**.
Найдите градусную меру угла **OCD**.
Скачать полные задания и ответы
**Задание 3.** Раскраска полосы
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Некоторые клетки (хотя бы одну) клетчатого поля размером **3×9** клеток закрасили в красный цвет. Получилось так, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Какое минимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
2. Какое максимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Скачать полные задания и ответы
**Задание 4.** Разбиение четырёхугольника
В качестве ответа вводите число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Диагонали разбили выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника, площади трёх из которых равны **4** см², **6** см² и **12** см². Найдите площадь четвёртого треугольника.
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Найдите сумму всех возможных значений площади четвёртого треугольника.
Скачать полные задания и ответы
**Задание 5.** Дружный класс
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В одном очень дружном классе принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришло **49** учеников дружного класса, и суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу?
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу? Если у Вас получилось несколько вариантов ответа, то запишите ответ, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов.
Скачать полные задания и ответы
**Задание 6.** Число в квадрате
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В квадрате записаны **9** цифр так, как это показано на рисунке.
Сергей хочет составить число, подчиняющееся следующим правилам:
1) все цифры этого числа различны;
2) оно больше **1000000**;
3) любые две соседние цифры числа должны быть соседними по стороне цифрами в данной таблице.
1 8 3
6 4 9
5 2 7
1. Какое наименьшее число может получить Сергей?
2. Какое число наибольшее может получить Сергей?
Скачать полные задания и ответы
**Задание 8.** Разность квадратов
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3.
Число **9801** представили в виде разности квадратов двух натуральных чисел **x** и **y**:
**9801 = x² − y²**.
1. Сколькими способами это можно сделать?
2. Чему равно наибольшее возможное значение **x**?
3. Чему равно наименьшее возможное значение **y**?
Скачать полные задания и ответы
**Вариант 5.**
**Задание 1.** Купля-продажа
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Петя хочет перепродать Васе игровую приставку, но Вася готов купить её у Пети только со скидкой **40%** от назначенной Петей цены. Петя подумал о том, что даже в этом случае он получит от перепродажи **5%** прибыли относительно закупочной цены, и согласился на сделку. На сколько процентов дороже закупочной цены Петя хотел продать Васе приставку изначально?
**Задание 2.** Вписанный четырёхугольник
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Четырёхугольник **ABCD** вписан в окружность с центром в точке **O**, причём точка **O** лежит внутри четырёхугольника. Оказалось, что угол **DAB** равен **115°**, угол **BOC** равен **80°**.
Найдите градусную меру угла **OCD**.
Скачать полные задания и ответы
**Задание 3.** Раскраска полосы
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Некоторые клетки (хотя бы одну) клетчатого поля размером **3×7** клеток закрасили в красный цвет. Получилось так, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Какое минимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
2. Какое максимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Скачать полные задания и ответы
**Задание 4.** Разбиение четырёхугольника
В качестве ответа вводите число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Диагонали разбили выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника, площади трёх из которых равны **8** см², **10** см² и **20** см². Найдите площадь четвёртого треугольника.
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Найдите сумму всех возможных значений площади четвёртого треугольника.
Скачать полные задания и ответы
**Задание 5.** Дружный класс
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В одном очень дружном классе принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришло **64** ученика дружного класса, и суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу?
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу? Если у Вас получилось несколько вариантов ответа, то запишите ответ, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов.
Скачать полные задания и ответы
**Задание 6.** Число в квадрате
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В квадрате записаны **9** цифр так, как это показано на рисунке.
Сергей хочет составить число, подчиняющееся следующим правилам:
1) все цифры этого числа различны;
2) оно больше **1000000**;
3) любые две соседние цифры числа должны быть соседними по стороне цифрами в данной таблице.
7 9 2
4 1 6
3 8 5
1. Какое наименьшее число может получить Сергей?
2. Какое число наибольшее может получить Сергей?
Скачать полные задания и ответы
**Задание 8.** Разность квадратов
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3.
Число **2025** представили в виде разности квадратов двух натуральных чисел **x** и **y**:
**2025 = x² − y²**.
1. Сколькими способами это можно сделать?
2. Чему равно наибольшее возможное значение **x**?
3. Чему равно наименьшее возможное значение **y**?
**Варианты 2–5. Задание «Физики и математики».**
Две версии из исходного файла; номера вариантов не указаны.
Скачать полные задания и ответы
**Задание 7.** Физики и математики
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Алексей Викторович ведёт занятия в двух школьных кружках: «Олимпиадная математика» и «Олимпиадная физика». Каждый из **20** учеников его класса занимается хотя бы в одном из двух этих кружков. Математику посещает **10** учеников, а физику – **12**. Для участия в командном школьном турнире по математике нужно выбрать каких-то трёх учеников, занимающихся в кружке «Олимпиадная математика», а для участия в турнире по физике – троих участников кружка «Олимпиадная физика». Так как турниры проходят в один день и в одно время, то одних и тех же ребят привлечь к обоим состязаниям нельзя.
1. Сколькими способами можно собрать только команду на турнир по физике?
2. Сколькими способами можно собрать две команды (одна команда физиков и одна команда математиков) для двух этих турниров?
Скачать полные задания и ответы
**Задание 7.** Физики и математики
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Сергей Александрович ведёт занятия в двух школьных кружках: «Олимпиадная математика» и «Олимпиадная физика». Каждый из **25** учеников его класса занимается хотя бы в одном из двух этих кружков. Математику посещает **15** учеников, а физику – только **12**. Для участия в командном школьном турнире по математике нужно выбрать каких-то трёх учеников, занимающихся в кружке «Олимпиадная математика», а для участия в турнире по физике – троих участников кружка «Олимпиадная физика». Так как турниры проходят в один день и в одно время, то одних и тех же ребят привлечь к обоим состязаниям нельзя.
1. Сколькими способами можно собрать только команду на турнир по физике?
2. Сколькими способами можно собрать две команды (одна команда физиков и одна команда математиков) для двух этих турниров?
Скачать полные задания и ответы