Математика Сириус 7–11 класс Орловская область 13.10.2026 задания и ответы

Вт окт 13, 2026 8:10 am

Школьный этап ВсОШ по математике 7, 8, 9, 10, 11 класс 2026–2027: задания, ответы и разбор решений!

13 октября 2026 года на платформе «Сириус» (uts.sirius.online), school.mos.ru проходит школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике для учащихся 7, 8, 9, 10,11, класса из 2 группы регионов и Москвы. В публикации собрана информация о заданиях олимпиады, ответах и авторских решениях. Пошаговый разбор поможет понять логику задач, сравнить способы решения и разобраться в сложных моментах.

PANDAEXAM

Полные ответы и решения скрыты

Подписывайтесь на Telegram, чтобы не пропустить публикацию новых ответов и разборов.

Открыть ответы в Telegram VKСкачать ответы в Яндексе

Официальные материалы PANDAEXAM доступны через наши каналы публикации

7 класс ответы
Задание 1. Вариант 1.
Куб 3 × 3 × 3 составлен из единичных кубиков. Из него вынули кубик, находившийся в центре одной из граней большого куба. Затем всю поверхность получившегося тела, включая пять новых квадратных граней выемки, покрасили, после чего тело разобрали на единичные кубики. Сколько кубиков имеют ровно 2 окрашенные грани?
Вариант 2.
Куб 4 × 4 × 4 составлен из единичных кубиков. Из него вынули один из двух кубиков, не являющихся угловыми и находящихся на одном ребре большого куба. Затем всю поверхность получившегося тела, включая четыре новые квадратные грани выемки, покрасили, после чего тело разобрали на единичные кубики. Сколько кубиков имеют ровно 2 окрашенные грани?
Вариант 3.
Куб 4 × 4 × 4 составлен из единичных кубиков. Из него вынули один из четырёх кубиков, не примыкающих к рёбрам и находящихся на одной грани большого куба. Затем всю поверхность получившегося тела, включая пять новых квадратных граней выемки, покрасили, после чего тело разобрали на единичные кубики. Сколько кубиков имеют ровно 2 окрашенные грани?
Вариант 4.
Куб 3 × 3 × 3 составлен из единичных кубиков. Из него вынули кубик, находившийся в середине одного из рёбер большого куба. Затем всю поверхность получившегося тела, включая четыре новые квадратные грани выемки, покрасили, после чего тело разобрали на единичные кубики. Сколько кубиков имеют ровно 2 окрашенные грани?

Скачать полные задания и ответы

Задание 2. Вариант 1.
Только в одной из четырёх коробок A, B, C, D лежит ключ. На коробках написано следующее:
A: «Ключ в коробке B или D»;
B: «Ключ не в коробке A»;
C: «Ключ в коробке C»;
D: «Ключ не в коробке D».
Известно, что ровно одна из этих надписей истинна. В какой коробке находится ключ?
A
B
C
D
Вариант 2.
Только в одной из четырёх коробок A, B, C, D лежит ключ. На коробках написано следующее:
A: «Ключ не в коробке A»;
B: «Ключ в коробке A или C»;
C: «Ключ не в коробке B»;
D: «Ключ в коробке D».
Известно, что ровно одна из этих надписей истинна. В какой коробке находится ключ?
A
B
C
D
Вариант 3.
Только в одной из четырёх коробок A, B, C, D лежит ключ. На коробках написано следующее:
A: «Ключ не в коробке D»;
B: «Ключ в коробке B»;
C: «Ключ не в коробке C»;
D: «Ключ в коробке A или C».
Известно, что ровно одна из этих надписей истинна. В какой коробке находится ключ?
A
B
C
D
Вариант 4.
Только в одной из четырёх коробок A, B, C, D лежит ключ. На коробках написано следующее:
A: «Ключ в коробке A»;
B: «Ключ не в коробке B»;
C: «Ключ в коробке B или D»;
D: «Ключ не в коробке C».
Известно, что ровно одна из этих надписей истинна. В какой коробке находится ключ?
A
B
C
D

Скачать полные задания и ответы

Задание 3. Вариант 1 (страница 3 PDF).
На числовой оси отмечены точки, соответствующие числам b, −a и a.
Какие утверждения верны? Выберите все подходящие варианты:
a − b > 0
a + b < 0
ab > 0
b(a − b) < 0
2a + b > 0
a/b < 0
Вариант 2 (страница 10 PDF).
На числовой оси отмечены точки, соответствующие числам b, −a и a.
Какие утверждения верны? Выберите все подходящие варианты:
a/b < 0
a − b > 0
b(a − b) < 0
a + 2b > 0
ab > 0
a + b < 0
Вариант 3 (страница 15 PDF).
На числовой оси отмечены точки, соответствующие числам b, −a и a.
Какие утверждения верны? Выберите все подходящие варианты:
a + b < 0
a + 2b > 0
ab > 0
a − b > 0
b(a − b) < 0
a/b < 0
Вариант 4 (страница 24 PDF).
На числовой оси отмечены точки, соответствующие числам b, −a и a.
Какие утверждения верны? Выберите все подходящие варианты:
b(a − b) < 0
a/b < 0
a + b < 0
a − b > 0
ab > 0
2a + b > 0

Скачать полные задания и ответы

Задание 4. Вариант 1.
Каждая клетка квадрата обозначена буквой столбца и номером строки. За один шаг можно перейти из клетки в соседнюю клетку, имеющую с ней общую сторону. Расстоянием между двумя клетками называется наименьшее число шагов, необходимое для перехода из одной клетки в другую.
На рисунке крестиками отмечены клетки B1 и D3.
Какие клетки находятся на расстоянии 3 как от клетки B1, так и от клетки D3? Выберите все подходящие варианты:
Вариант 2.
Каждая клетка квадрата обозначена буквой столбца и номером строки. За один шаг можно перейти из клетки в соседнюю клетку, имеющую с ней общую сторону. Расстоянием между двумя клетками называется наименьшее число шагов, необходимое для перехода из одной клетки в другую.
На рисунке крестиками отмечены клетки A2 и C4.
Какие клетки находятся на расстоянии 3 как от клетки A2, так и от клетки C4? Выберите все подходящие варианты:
Вариант 3.
Каждая клетка квадрата обозначена буквой столбца и номером строки. За один шаг можно перейти из клетки в соседнюю клетку, имеющую с ней общую сторону. Расстоянием между двумя клетками называется наименьшее число шагов, необходимое для перехода из одной клетки в другую.
На рисунке крестиками отмечены клетки B3 и D5.
Какие клетки находятся на расстоянии 3 как от клетки B3, так и от клетки D5? Выберите все подходящие варианты:
Вариант 4.
Каждая клетка квадрата обозначена буквой столбца и номером строки. За один шаг можно перейти из клетки в соседнюю клетку, имеющую с ней общую сторону. Расстоянием между двумя клетками называется наименьшее число шагов, необходимое для перехода из одной клетки в другую.
На рисунке крестиками отмечены клетки C2 и E4.
Какие клетки находятся на расстоянии 3 как от клетки C2, так и от клетки E4? Выберите все подходящие варианты:

Скачать полные задания и ответы

Задание 5. Вариант 1.
Код камеры хранения состоит из пяти различных цифр и имеет вид abcde, причём первая цифра не равна нулю. Известно, что
a + b = 10, b − c = 5, d = 3c, e = a + d,
а сам код делится на 9. Восстановите код.
Вариант 2.
Код камеры хранения состоит из пяти различных цифр и имеет вид abcde, причём первая цифра не равна нулю. Известно, что
a + b = 8, b − c = 2, d = 2c, e = a + d,
а сам код делится на 9. Восстановите код.
Вариант 3.
Код камеры хранения состоит из пяти различных цифр и имеет вид abcde, причём первая цифра не равна нулю. Известно, что
a + b = 7, b − c = 4, d = 4c, e = a + d,
а сам код делится на 9. Восстановите код.
Вариант 4.
Код камеры хранения состоит из пяти различных цифр и имеет вид abcde, причём первая цифра не равна нулю. Известно, что
a + b = 12, b − c = 5, d = 2c, e = a + d,
а сам код делится на 9. Восстановите код.

Скачать полные задания и ответы

Задание 6. Вариант 1.
На доске нарисован прямоугольник площади 96. Оказалось, что если длинную сторону уменьшить на 1, а короткую увеличить на 1, то прямоугольник станет квадратом. Найдите площадь получившегося квадрата.
Вариант 2.
На доске нарисован прямоугольник площади 230. Оказалось, что если длинную сторону уменьшить на 2, а короткую увеличить на 2, то прямоугольник станет квадратом. Найдите площадь получившегося квадрата.
Вариант 3.
На доске нарисован прямоугольник площади 130. Оказалось, что если длинную сторону уменьшить на 2, а короткую увеличить на 2, то прямоугольник станет квадратом. Найдите площадь получившегося квадрата.
Вариант 4.
На доске нарисован прямоугольник площади 300. Оказалось, что если длинную сторону уменьшить на 3, а короткую увеличить на 3, то прямоугольник станет квадратом. Найдите площадь получившегося квадрата.

Скачать полные задания и ответы

Задание 7. Вариант 1.
Наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен одному из этих чисел, а их произведение равно 3375. Какое наибольшее значение может принимать наименьшее из этих чисел?
Вариант 2.
Наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен одному из этих чисел, а их произведение равно 1215. Какое наибольшее значение может принимать наименьшее из этих чисел?
Вариант 3.
Наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен одному из этих чисел, а их произведение равно 3456. Какое наибольшее значение может принимать наименьшее из этих чисел?
Вариант 4.
Наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен одному из этих чисел, а их произведение равно 7776. Какое наибольшее значение может принимать наименьшее из этих чисел?

Скачать полные задания и ответы

Задание 8. Вариант 1 (страница 8 PDF).
Робот может передвигаться по линиям сетки только вправо или вверх.
Сколькими способами он может пройти из точки A в точку B, не проходя по участку, отмеченному на рисунке жирной линией?
Вариант 2 (страница 14 PDF).
Робот может передвигаться по линиям сетки только вправо или вверх.
Сколькими способами он может пройти из точки A в точку B, не проходя по участку, отмеченному на рисунке жирной линией?
Вариант 3 (страница 19 PDF).
Робот может передвигаться по линиям сетки только вправо или вверх.
Сколькими способами он может пройти из точки A в точку B, не проходя по участку, отмеченному на рисунке жирной линией?
Вариант 4 (страница 33 PDF).
Робот может передвигаться по линиям сетки только вправо или вверх.
Сколькими способами он может пройти из точки A в точку B, не проходя по участку, отмеченному на рисунке жирной линией?

Скачать полные задания и ответы

8 класс ответы
Задание 1. Вариант 1.
Куб 9 × 9 × 9 составлен из единичных кубиков. Через его центр проложили три прямых тоннеля сечением 1 × 1: каждый тоннель соединяет центры двух противоположных граней, а направления тоннелей попарно перпендикулярны. Для этого все единичные кубики, через которые проходят тоннели, вынули. Сколько кубиков вынули?
Вариант 2.
Куб 15 × 15 × 15 составлен из единичных кубиков. Через его центр проложили три прямых тоннеля сечением 1 × 1: каждый тоннель соединяет центры двух противоположных граней, а направления тоннелей попарно перпендикулярны. Для этого все единичные кубики, через которые проходят тоннели, вынули. Сколько кубиков вынули?
Вариант 3.
Куб 13 × 13 × 13 составлен из единичных кубиков. Через его центр проложили три прямых тоннеля сечением 1 × 1: каждый тоннель соединяет центры двух противоположных граней, а направления тоннелей попарно перпендикулярны. Для этого все единичные кубики, через которые проходят тоннели, вынули. Сколько кубиков вынули?
Вариант 4.
Куб 11 × 11 × 11 составлен из единичных кубиков. Через его центр проложили три прямых тоннеля сечением 1 × 1: каждый тоннель соединяет центры двух противоположных граней, а направления тоннелей попарно перпендикулярны. Для этого все единичные кубики, через которые проходят тоннели, вынули. Сколько кубиков вынули?

Скачать полные задания и ответы

Задание 2. Вариант 1 (страница 2 PDF).
Пол зала разбит на 4 × 4 квадратных клеток. В двух клетках, отмеченных на рисунке, стоят колонны. Остальную часть пола покрывают плитками 1 × 2 клетки без наложений и зазоров. Плитки можно поворачивать.
Сколькими способами можно уложить плитки?
Вариант 2 (страница 11 PDF).
Пол зала разбит на 4 × 4 квадратных клеток. В двух клетках, отмеченных на рисунке, стоят колонны. Остальную часть пола покрывают плитками 1 × 2 клетки без наложений и зазоров. Плитки можно поворачивать.
Сколькими способами можно уложить плитки?
Вариант 3 (страница 16 PDF).
Пол зала разбит на 4 × 4 квадратных клеток. В двух клетках, отмеченных на рисунке, стоят колонны. Остальную часть пола покрывают плитками 1 × 2 клетки без наложений и зазоров. Плитки можно поворачивать.
Сколькими способами можно уложить плитки?
Вариант 4 (страница 28 PDF).
Пол зала разбит на 4 × 4 квадратных клеток. В двух клетках, отмеченных на рисунке, стоят колонны. Остальную часть пола покрывают плитками 1 × 2 клетки без наложений и зазоров. Плитки можно поворачивать.
Сколькими способами можно уложить плитки?

Скачать полные задания и ответы

Задание 3. Вариант 1 (страница 3 PDF).
На схеме показаны уже проложенные каналы связи между пунктами A, B, C, D, E, F.
Требуется проложить ровно два новых канала так, чтобы к этим пунктам подходило соответственно 4, 3, 3, 2, 3, 3 канала соответственно (к пункту A — 4 канала, пункту B — 3 канала, и т. д.). Какие каналы необходимо провести?
BD
CE
AC
DE
DF
CF
AF
BE
Вариант 2 (страница 12 PDF).
На схеме показаны уже проложенные каналы связи между пунктами A, B, C, D, E, F.
Требуется проложить ровно два новых канала так, чтобы к этим пунктам подходило соответственно 4, 3, 3, 3, 3, 2 канала соответственно (к пункту A — 4 канала, пункту B — 3 канала, и т. д.). Какие каналы необходимо провести?
AF
AC
BD
CE
DF
BE
CF
DE
Вариант 3 (страница 17 PDF).
На схеме показаны уже проложенные каналы связи между пунктами A, B, C, D, E, F.
Требуется проложить ровно два новых канала так, чтобы к этим пунктам подходило соответственно 4, 4, 3, 3, 2, 2 канала соответственно (к пункту A — 4 канала, пункту B — 4 канала, и т. д.). Какие каналы необходимо провести?
AF
DF
AC
CE
BD
BE
CF
DE
Вариант 4 (страница 41 PDF).
На схеме показаны уже проложенные каналы связи между пунктами A, B, C, D, E, F.
Требуется проложить ровно два новых канала так, чтобы к этим пунктам подходило соответственно 3, 4, 3, 3, 3, 2 канала соответственно (к пункту A — 3 канала, пункту B — 4 канала, и т. д.). Какие каналы необходимо провести?
BE
BD
DE
AC
AF
CE
CF
DF

Скачать полные задания и ответы

Задание 5. Вариант 1.
Трёхзначный код обладает следующими свойствами:
• если первую цифру перенести в конец, число увеличится на 468;
• если цифры записать в обратном порядке, число увеличится на 198;
• исходный код делится на 11.
Найдите исходный код.
Вариант 2.
Трёхзначный код обладает следующими свойствами:
• если первую цифру перенести в конец, число увеличится на 477;
• если цифры записать в обратном порядке, число увеличится на 297;
• исходный код делится на 11.
Найдите исходный код.
Вариант 3.
Трёхзначный код обладает следующими свойствами:
• если первую цифру перенести в конец, число увеличится на 189;
• если цифры записать в обратном порядке, число увеличится на 99;
• исходный код делится на 11.
Найдите исходный код.
Вариант 4.
Трёхзначный код обладает следующими свойствами:
• если первую цифру перенести в конец, число увеличится на 576;
• если цифры записать в обратном порядке, число увеличится на 396;
• исходный код делится на 11.
Найдите исходный код.

Скачать полные задания и ответы

Задание 6. Вариант 1.
Сколько существует пар натуральных чисел (a; b), для которых одновременно НОД(a; b) = 8 и НОК(a; b) = 7560?
Пары (a; b) и (b; a) при a ≠ b считаются различными.
Вариант 2.
Сколько существует пар натуральных чисел (a; b), для которых одновременно НОД(a; b) = 6 и НОК(a; b) = 6300?
Пары (a; b) и (b; a) при a ≠ b считаются различными.
Вариант 3.
Сколько существует пар натуральных чисел (a; b), для которых одновременно НОД(a; b) = 12 и НОК(a; b) = 27720?
Пары (a; b) и (b; a) при a ≠ b считаются различными.
Вариант 4.
Сколько существует пар натуральных чисел (a; b), для которых одновременно НОД(a; b) = 15 и НОК(a; b) = 18900?
Пары (a; b) и (b; a) при a ≠ b считаются различными.

Скачать полные задания и ответы

Задание 7. Вариант 1.
В треугольнике ABC ∠BAC = 37°. На стороне AC выбрана точка D, отличная от C, так, что BD = BC. На стороне AB выбрана точка E, отличная от B, так, что CE = CB. Отрезки BD и CE пересекаются в точке P. Найдите угол ∠BPC. Ответ выразите в градусах.
Вариант 2.
В треугольнике ABC ∠BAC = 53°. На стороне AC выбрана точка D, отличная от C, так, что BD = BC. На стороне AB выбрана точка E, отличная от B, так, что CE = CB. Отрезки BD и CE пересекаются в точке P. Найдите угол ∠BPC. Ответ выразите в градусах.
Вариант 3.
В треугольнике ABC ∠BAC = 41°. На стороне AC выбрана точка D, отличная от C, так, что BD = BC. На стороне AB выбрана точка E, отличная от B, так, что CE = CB. Отрезки BD и CE пересекаются в точке P. Найдите угол ∠BPC. Ответ выразите в градусах.
Вариант 4.
В треугольнике ABC ∠BAC = 48°. На стороне AC выбрана точка D, отличная от C, так, что BD = BC. На стороне AB выбрана точка E, отличная от B, так, что CE = CB. Отрезки BD и CE пересекаются в точке P. Найдите угол ∠BPC. Ответ выразите в градусах.

Скачать полные задания и ответы

Задание 8. Вариант 1.
Число x таково, что x³ + 4x = 8. Найдите x⁷ + 64x² + 8.
Вариант 2.
Число x таково, что x³ + 4x = 8. Найдите x⁷ + 64x² + 6.
Вариант 3.
Число x таково, что x³ + 4x = 8. Найдите x⁷ + 64x² + 5.
Вариант 4.
Число x таково, что x³ + 4x = 8. Найдите x⁷ + 64x² + 7.

Скачать полные задания и ответы

9 класс ответы
Задание 1. Вариант 1.
Пять участников забега финишировали без ничьих. Известно, что
• Андрей не был ни первым, ни последним;
• Витя финишировал непосредственно перед Андреем;
• Боря занял место на две позиции ниже, чем Витя;
• Дима финишировал раньше Глеба;
• Глеб не был последним.
Расположите участников в том порядке, в котором они финишировали.
Расставьте в верной последовательности.
Андрей
Боря
Витя
Глеб
Дима
Вариант 2.
Пять участников забега финишировали без ничьих. Известно, что
• Дима не был ни первым, ни последним;
• Андрей финишировал непосредственно перед Димой;
• Витя занял место на две позиции ниже, чем Андрей;
• Глеб финишировал раньше Бори;
• Боря не был последним.
Расположите участников в том порядке, в котором они финишировали.
Расставьте в верной последовательности.
Андрей
Боря
Витя
Глеб
Дима
Вариант 3.
Пять участников забега финишировали без ничьих. Известно, что
• Витя не был ни первым, ни последним;
• Глеб финишировал непосредственно перед Витей;
• Дима занял место на две позиции ниже, чем Глеб;
• Боря финишировал раньше Андрея;
• Андрей не был последним.
Расположите участников в том порядке, в котором они финишировали.
Расставьте в верной последовательности.
Андрей
Боря
Витя
Глеб
Дима
Вариант 4.
Пять участников забега финишировали без ничьих. Известно, что
• Боря не был ни первым, ни последним;
• Дима финишировал непосредственно перед Борей;
• Глеб занял место на две позиции ниже, чем Дима;
• Андрей финишировал раньше Вити;
• Витя не был последним.
Расположите участников в том порядке, в котором они финишировали.
Расставьте в верной последовательности.
Андрей
Боря
Витя
Глеб
Дима

Скачать полные задания и ответы

Задание 2. Вариант 1.
Точки A = (4, 3), B = (8, 4) и C = (6, 7) являются тремя вершинами параллелограмма, но неизвестно, какие из них соседние, а какие противоположные.
Отметьте на рисунке все возможные положения четвёртой вершины D.
Найдите сумму площадей получившихся параллелограммов.
Вариант 2.
Точки A = (5, 5), B = (8, 6) и C = (4, 9) являются тремя вершинами параллелограмма, но неизвестно, какие из них соседние, а какие противоположные.
Отметьте на рисунке все возможные положения четвёртой вершины D.
Найдите сумму площадей получившихся параллелограммов.
Вариант 3.
Точки A = (4, 4), B = (8, 5) и C = (6, 9) являются тремя вершинами параллелограмма, но неизвестно, какие из них соседние, а какие противоположные.
Отметьте на рисунке все возможные положения четвёртой вершины D.
Найдите сумму площадей получившихся параллелограммов.
Вариант 4.
Точки A = (3, 5), B = (7, 3) и C = (8, 8) являются тремя вершинами параллелограмма, но неизвестно, какие из них соседние, а какие противоположные.
Отметьте на рисунке все возможные положения четвёртой вершины D.
Найдите сумму площадей получившихся параллелограммов.

Скачать полные задания и ответы

Задание 3. Вариант 1.
График приведённого квадратного трёхчлена пересекает биссектрису первой координатной четверти в точках с абсциссами 17 и 37.
Найдите абсциссу вершины этого трёхчлена.
Вариант 2.
График приведённого квадратного трёхчлена пересекает биссектрису первой координатной четверти в точках с абсциссами 8 и 22.
Найдите абсциссу вершины этого трёхчлена.
Вариант 3.
График приведённого квадратного трёхчлена пересекает биссектрису первой координатной четверти в точках с абсциссами 14 и 30.
Найдите абсциссу вершины этого трёхчлена.
Вариант 4.
График приведённого квадратного трёхчлена пересекает биссектрису первой координатной четверти в точках с абсциссами 11 и 29.
Найдите абсциссу вершины этого трёхчлена.

Скачать полные задания и ответы

Задание 4. Вариант 1.
Отметьте несколько клеток в этом квадрате 4 × 4 так, чтобы никакие две отмеченные клетки не имели общей точки, а сумма чисел в отмеченных клетках была максимально возможной.
68 | 69 | 70 | 71
67 | 78 | 79 | 72
66 | 77 | 80 | 73
65 | 76 | 75 | 74
Вариант 2.
Отметьте несколько клеток в этом квадрате 4 × 4 так, чтобы никакие две отмеченные клетки не имели общей точки, а сумма чисел в отмеченных клетках была максимально возможной.
5 | 6 | 7 | 8
16 | 17 | 18 | 9
15 | 20 | 19 | 10
14 | 13 | 12 | 11
Вариант 3.
Отметьте несколько клеток в этом квадрате 4 × 4 так, чтобы никакие две отмеченные клетки не имели общей точки, а сумма чисел в отмеченных клетках была максимально возможной.
51 | 52 | 53 | 54
50 | 59 | 60 | 55
49 | 58 | 57 | 56
48 | 47 | 46 | 45
Вариант 4.
Отметьте несколько клеток в этом квадрате 4 × 4 так, чтобы никакие две отмеченные клетки не имели общей точки, а сумма чисел в отмеченных клетках была максимально возможной.
34 | 35 | 36 | 25
33 | 40 | 37 | 26
32 | 39 | 38 | 27
31 | 30 | 29 | 28

Скачать полные задания и ответы

Задание 5. Вариант 1.
Сумма двух натуральных чисел равна 162, их наибольший общий делитель равен 18, а наименьшее общее кратное равно 360. Найдите эти числа. Порядок не важен.
Вариант 2.
Сумма двух натуральных чисел равна 330, их наибольший общий делитель равен 30, а наименьшее общее кратное равно 900. Найдите эти числа. Порядок не важен.
Вариант 3.
Сумма двух натуральных чисел равна 275, их наибольший общий делитель равен 25, а наименьшее общее кратное равно 600. Найдите эти числа. Порядок не важен.
Вариант 4.
Сумма двух натуральных чисел равна 144, их наибольший общий делитель равен 12, а наименьшее общее кратное равно 420. Найдите эти числа. Порядок не важен.

Скачать полные задания и ответы

Задание 6. Вариант 1.
На доске записаны числа 1 и 1. За один ход разрешается прибавить одно из записанных чисел к другому, заменив второе число полученной суммой. За какое наименьшее число ходов можно получить на доске пару чисел 93 и 161?
Вариант 2.
На доске записаны числа 1 и 1. За один ход разрешается прибавить одно из записанных чисел к другому, заменив второе число полученной суммой. За какое наименьшее число ходов можно получить пару чисел 93 и 25?
Вариант 3.
На доске записаны числа 1 и 1. За один ход разрешается прибавить одно из записанных чисел к другому, заменив второе число полученной суммой. За какое наименьшее число ходов можно получить пару чисел 143 и 25?
Вариант 4.
На доске записаны числа 1 и 1. За один ход разрешается прибавить одно из записанных чисел к другому, заменив второе число полученной суммой. За какое наименьшее число ходов можно получить пару чисел 43 и 68?

Скачать полные задания и ответы

Задание 7. Вариант 1.
Даны 100 карточек с числами 1, 2, ..., 100. Петя для каждой пары карточек выписал на доску их сумму и разность. Так на доске оказались выписаны 9900 чисел. Какие числа выписаны на доске ровно 60 раз? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 2.
Даны 90 карточек с числами 1, 2, ..., 90. Петя для каждой пары карточек выписал на доску их сумму и разность. Так на доске оказались выписаны 8010 чисел. Какие числа выписаны на доске ровно 54 раза? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 3.
Даны 80 карточек с числами 1, 2, ..., 80. Петя для каждой пары карточек выписал на доску их сумму и разность. Так на доске оказались выписаны 6320 чисел. Какие числа выписаны на доске ровно 48 раз? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 4.
Даны 120 карточек с числами 1, 2, ..., 120. Петя для каждой пары карточек выписал на доску их сумму и разность. Так на доске оказались выписаны 14280 чисел. Какие числа выписаны на доске ровно 72 раза? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Скачать полные задания и ответы

Задание 8. Вариант 1.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠ABD = ∠ACD = 90°. Перпендикуляр к AD, проведённый из точки B, пересекает отрезок AC в точке K. Найдите длину отрезка KC, если AB = 9, AK = 3.
Вариант 2.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠ABD = ∠ACD = 90°. Перпендикуляр к AD, проведённый из точки B, пересекает отрезок AC в точке K. Найдите длину отрезка KC, если AB = 6, AK = 2.
Вариант 3.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠ABD = ∠ACD = 90°. Перпендикуляр к AD, проведённый из точки B, пересекает отрезок AC в точке K. Найдите длину отрезка KC, если AB = 7, AK = 2.
Вариант 4.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠ABD = ∠ACD = 90°. Перпендикуляр к AD, проведённый из точки B, пересекает отрезок AC в точке K. Найдите длину отрезка KC, если AB = 8, AK = 4.

Скачать полные задания и ответы

10 класс ответы
Задание 1. Вариант 1 (страница 1 PDF).
На рисунке изображён график функции y = −a − |kx + b|.
Выберите те утверждения, которые могут быть верны:
a < 0, k < 0, b < 0
a > 0, k < 0, b > 0
a > 0, k > 0, b > 0
a < 0, k < 0, b > 0
a < 0, k > 0, b > 0
a < 0, k > 0, b < 0
a > 0, k > 0, b < 0
a > 0, k < 0, b < 0
Вариант 2 (страница 10 PDF).
На рисунке изображён график функции y = a − |kx − b|.
Выберите те утверждения, которые могут быть верны:
a < 0, k > 0, b > 0
a < 0, k < 0, b < 0
a > 0, k > 0, b > 0
a > 0, k > 0, b < 0
a > 0, k < 0, b < 0
a < 0, k < 0, b > 0
a > 0, k < 0, b > 0
a < 0, k > 0, b < 0
Вариант 3 (страница 23 PDF).
На рисунке изображён график функции y = a − |kx + b|.
Выберите те утверждения, которые могут быть верны:
a > 0, k < 0, b > 0
a > 0, k > 0, b < 0
a > 0, k > 0, b > 0
a > 0, k < 0, b < 0
a < 0, k < 0, b < 0
a < 0, k > 0, b > 0
a < 0, k > 0, b < 0
a < 0, k < 0, b > 0
Вариант 4 (страница 42 PDF).
На рисунке изображён график функции y = −a − |kx − b|.
Выберите те утверждения, которые могут быть верны:
a < 0, k < 0, b < 0
a > 0, k < 0, b < 0
a < 0, k < 0, b > 0
a > 0, k < 0, b > 0
a > 0, k > 0, b < 0
a < 0, k > 0, b < 0
a > 0, k > 0, b > 0
a < 0, k > 0, b > 0

Скачать полные задания и ответы

Задание 2. Вариант 1.
Числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию (в таком порядке), числа b, c, 8 — геометрическую прогрессию (в таком порядке), и при этом a + b + c = 54.
Какие значения может принимать b? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Какие значения может принимать a? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 2.
Числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию (в таком порядке), числа b, c, 45 — геометрическую прогрессию (в таком порядке), и при этом a + b + c = 60.
Какие значения может принимать b? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Какие значения может принимать a? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 3.
Числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию (в таком порядке), числа b, c, 27 — геометрическую прогрессию (в таком порядке), и при этом a + b + c = 36.
Какие значения может принимать b? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Какие значения может принимать a? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 4.
Числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию (в таком порядке), числа b, c, 18 — геометрическую прогрессию (в таком порядке), и при этом a + b + c = 24.
Какие значения может принимать b? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Какие значения может принимать a? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Скачать полные задания и ответы

Задание 3. Вариант 1.
На окружности отмечены 18 точек. Они пронумерованы по часовой стрелке последовательно целыми числами от 1 до 18. Какова вероятность, что у случайно выбранного треугольника с вершинами в этих точках все вершины будут одной чётности?
Вариант 2.
На окружности отмечены 20 точек. Они пронумерованы по часовой стрелке последовательно целыми числами от 1 до 20. Какова вероятность, что у случайно выбранного треугольника с вершинами в этих точках все вершины будут одной чётности?
Вариант 3.
На окружности отмечены 12 точек. Они пронумерованы по часовой стрелке последовательно целыми числами от 1 до 12. Какова вероятность, что у случайно выбранного треугольника с вершинами в этих точках все вершины будут одной чётности?
Вариант 4.
На окружности отмечены 14 точек. Они пронумерованы по часовой стрелке последовательно целыми числами от 1 до 14. Какова вероятность, что у случайно выбранного треугольника с вершинами в этих точках все вершины будут одной чётности?

Скачать полные задания и ответы

Задание 4. Вариант 1.
Найдите все натуральные числа n, для которых оба числа n + 5 и n + 32 являются точными квадратами. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 2.
Найдите все натуральные числа n, для которых оба числа n + 12 и n + 45 являются точными квадратами. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 3.
Найдите все натуральные числа n, для которых оба числа n + 20 и n + 59 являются точными квадратами. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 4.
Найдите все натуральные числа n, для которых оба числа n + 6 и n + 61 являются точными квадратами. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Скачать полные задания и ответы

Задание 5. Вариант 1.
В треугольнике ABC со сторонами AB = 5 и AC = 6 провели биссектрису AD. Прямая, проходящая через точку D перпендикулярно этой биссектрисе, пересекает прямые AB и AC в точках F и E соответственно. Найдите EC − FB.
Вариант 2.
В треугольнике ABC со сторонами AB = 3 и AC = 4 провели биссектрису AD. Прямая, проходящая через точку D перпендикулярно этой биссектрисе, пересекает прямые AB и AC в точках F и E соответственно. Найдите EC − FB.
Вариант 3.
В треугольнике ABC со сторонами AB = 4 и AC = 5 провели биссектрису AD. Прямая, проходящая через точку D перпендикулярно этой биссектрисе, пересекает прямые AB и AC в точках F и E соответственно. Найдите EC − FB.
Вариант 4.
В треугольнике ABC со сторонами AB = 6 и AC = 7 провели биссектрису AD. Прямая, проходящая через точку D перпендикулярно этой биссектрисе, пересекает прямые AB и AC в точках F и E соответственно. Найдите EC − FB.

Скачать полные задания и ответы

Задание 6. Вариант 1.
Последовательность задана условиями a₁ = 2, aₙ₊₁ = (aₙ − 1)/(aₙ + 1) при всех натуральных n.
Найдите a₂₀₂₆.
Найдите сумму первых 2026 членов последовательности.
Вариант 2.
Последовательность задана условиями a₁ = 3, aₙ₊₁ = (aₙ − 1)/(aₙ + 1) при всех натуральных n.
Найдите a₂₀₃₀.
Найдите сумму первых 2030 членов последовательности.
Вариант 3.
Последовательность задана условиями a₁ = 5, aₙ₊₁ = (aₙ − 1)/(aₙ + 1) при всех натуральных n.
Найдите a₂₀₀₂.
Найдите сумму первых 2002 членов последовательности.
Вариант 4.
Последовательность задана условиями a₁ = 4, aₙ₊₁ = (aₙ − 1)/(aₙ + 1) при всех натуральных n.
Найдите a₂₀₁₈.
Найдите сумму первых 2018 членов последовательности.

Скачать полные задания и ответы

Задание 7. Вариант 1.
Имеется натуральное число N. Алиса и Маруся по очереди выписывают на доску различные натуральные числа по следующему правилу: каждое выписанное число должно быть делителем N и при этом быть взаимно просто со всеми числами, уже выписанными на доску. Алиса ходит первой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Сколько существует натуральных чисел N, не больших 80, таких, что Маруся имеет возможность выиграть независимо от действий Алисы?
Вариант 2.
Имеется натуральное число N. Алиса и Маруся по очереди выписывают на доску различные натуральные числа по следующему правилу: каждое выписанное число должно быть делителем N и при этом быть взаимно просто со всеми числами, уже выписанными на доску. Алиса ходит первой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Сколько существует натуральных чисел N, не больших 90, таких, что Маруся имеет возможность выиграть независимо от действий Алисы?
Вариант 3.
Имеется натуральное число N. Алиса и Маруся по очереди выписывают на доску различные натуральные числа по следующему правилу: каждое выписанное число должно быть делителем N и при этом быть взаимно просто со всеми числами, уже выписанными на доску. Алиса ходит первой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Сколько существует натуральных чисел N, не больших 110, таких, что Маруся имеет возможность выиграть независимо от действий Алисы?
Вариант 4.
Имеется натуральное число N. Алиса и Маруся по очереди выписывают на доску различные натуральные числа по следующему правилу: каждое выписанное число должно быть делителем N и при этом быть взаимно просто со всеми числами, уже выписанными на доску. Алиса ходит первой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Сколько существует натуральных чисел N, не больших 100, таких, что Маруся имеет возможность выиграть независимо от действий Алисы?

Скачать полные задания и ответы

Задание 8. Вариант 1.
Точки A, B, C, D и E последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой окружности.
Точки E, F, G, H, I и A последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой другой окружности с центром C. Известно, что угол ABD больше угла AHG на 9°. Найдите градусную меру угла BAI.
Вариант 2.
Точки A, B, C, D и E последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой окружности.
Точки E, F, G, H, I и A последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой другой окружности с центром C. Известно, что угол ABD больше угла AHG на 12°. Найдите градусную меру угла BAG.
Вариант 3.
Точки A, B, C, D и E последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой окружности.
Точки E, F, G, H, I и A последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой другой окружности с центром C. Известно, что угол ABD больше угла AHG на 19°. Найдите градусную меру угла DAI.
Вариант 4.
Точки A, B, C, D и E последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой окружности.
Точки E, F, G, H, I и A последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой другой окружности с центром C. Известно, что угол ABD больше угла AHG на 5°. Найдите градусную меру угла BAH.

Скачать полные задания и ответы

11 класс ответы
Задание 1. Вариант 1.
При каком наименьшем натуральном n выполняется неравенство
sin((n² + 7n)°) · cos((n² + 7n)°) < 0?
Вариант 2.
При каком наименьшем натуральном n выполняется неравенство
sin((n² + 11n)°) · cos((n² + 11n)°) < 0?
Вариант 3.
При каком наименьшем натуральном n выполняется неравенство
sin((n² + 5n)°) · cos((n² + 5n)°) < 0?
Вариант 4.
При каком наименьшем натуральном n выполняется неравенство
sin((n² + 3n)°) · cos((n² + 3n)°) < 0?

Скачать полные задания и ответы

Задание 2. Вариант 1.
Последовательность задана условиями
a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) для всех натуральных n.
Найдите a₁₅₀.
Вариант 2.
Последовательность задана условиями
a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) для всех натуральных n.
Найдите a₂₅₀.
Вариант 3.
Последовательность задана условиями
a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) для всех натуральных n.
Найдите a₁₀₀.
Вариант 4.
Последовательность задана условиями
a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) для всех натуральных n.
Найдите a₂₀₀.

Скачать полные задания и ответы

Задание 3. Вариант 1.
Пять различных натуральных чисел имеют среднее арифметическое 20, а их медиана равна 23. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего из этих пяти чисел.
Вариант 2.
Пять различных натуральных чисел имеют среднее арифметическое 17, а их медиана равна 20. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего из этих пяти чисел.
Вариант 3.
Пять различных натуральных чисел имеют среднее арифметическое 15, а их медиана равна 18. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего из этих пяти чисел.
Вариант 4.
Пять различных натуральных чисел имеют среднее арифметическое 22, а их медиана равна 25. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего из этих пяти чисел.

Скачать полные задания и ответы

Задание 4. Вариант 1.
Основание ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD — квадрат со стороной 4, а SC = 2 — её высота. Точка P лежит на прямой AS. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника BDP.
Вариант 2.
Основание ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD — квадрат со стороной 8, а SC = 4 — её высота. Точка P лежит на прямой AS. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника BDP.
Вариант 3.
Основание ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD — квадрат со стороной 10, а SC = 5 — её высота. Точка P лежит на прямой AS. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника BDP.
Вариант 4.
Основание ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD — квадрат со стороной 2, а SC = 1 — её высота. Точка P лежит на прямой AS. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника BDP.

Скачать полные задания и ответы

Задание 5. Вариант 1.
Для каких натуральных значений m уравнение x² − (m + 6)x + 4m = 0 имеет два различных натуральных корня? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 2.
Для каких натуральных значений m уравнение x² − (m + 5)x + 3m = 0 имеет два различных натуральных корня? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 3.
Для каких натуральных значений m уравнение x² − (m + 7)x + 5m = 0 имеет два различных натуральных корня? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 4.
Для каких натуральных значений m уравнение x² − (m + 9)x + 7m = 0 имеет два различных натуральных корня? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Скачать полные задания и ответы

Задание 6. Вариант 1.
На доске нарисован клетчатый прямоугольник 2 × 80. Будем считать две клетки соседними, если они имеют общую сторону. Сколькими способами можно закрасить ровно 79 клеток так, чтобы среди них не было соседних?
Вариант 2.
На доске нарисован клетчатый прямоугольник 2 × 140. Будем считать две клетки соседними, если они имеют общую сторону. Сколькими способами можно закрасить ровно 139 клеток так, чтобы среди них не было соседних?
Вариант 3.
На доске нарисован клетчатый прямоугольник 2 × 120. Будем считать две клетки соседними, если они имеют общую сторону. Сколькими способами можно закрасить ровно 119 клеток так, чтобы среди них не было соседних?
Вариант 4.
На доске нарисован клетчатый прямоугольник 2 × 100. Будем считать две клетки соседними, если они имеют общую сторону. Сколькими способами можно закрасить ровно 99 клеток так, чтобы среди них не было соседних?

Скачать полные задания и ответы

Задание 7. Вариант 1.
В треугольнике ABC ∠ABC = 55°, ∠BAC = 63°. Точка M является серединой стороны BC. Окружность, касающаяся BC в точке B и отрезка AM, пересекает сторону AB в точке P. Окружность, касающаяся BC в точке C и отрезка AM, пересекает сторону AC в точке Q. Найдите угол APQ. Ответ выразите в градусах.
Вариант 2.
В треугольнике ABC ∠ABC = 54°, ∠BAC = 67°. Точка M является серединой стороны BC. Окружность, касающаяся BC в точке B и отрезка AM, пересекает сторону AB в точке P. Окружность, касающаяся BC в точке C и отрезка AM, пересекает сторону AC в точке Q. Найдите угол APQ. Ответ выразите в градусах.
Вариант 3.
В треугольнике ABC ∠ABC = 53°, ∠BAC = 66°. Точка M является серединой стороны BC. Окружность, касающаяся BC в точке B и отрезка AM, пересекает сторону AB в точке P. Окружность, касающаяся BC в точке C и отрезка AM, пересекает сторону AC в точке Q. Найдите угол APQ. Ответ выразите в градусах.
Вариант 4.
В треугольнике ABC ∠ABC = 57°, ∠BAC = 65°. Точка M является серединой стороны BC. Окружность, касающаяся BC в точке B и отрезка AM, пересекает сторону AB в точке P. Окружность, касающаяся BC в точке C и отрезка AM, пересекает сторону AC в точке Q. Найдите угол APQ. Ответ выразите в градусах.

Скачать полные задания и ответы

Задание 8. Вариант 1.
Приведённый многочлен четвёртой степени P(x) удовлетворяет условиям P(2ⁿ + 1) = 8ⁿ + 1 для n = 1, 2, 3, 4. Найдите P(1).
Вариант 2.
Приведённый многочлен четвёртой степени P(x) удовлетворяет условиям P(2ⁿ + 1) = 8ⁿ + 1 для n = 0, 2, 3, 4. Найдите P(1).
Вариант 3.
Приведённый многочлен четвёртой степени P(x) удовлетворяет условиям P(2ⁿ + 1) = 8ⁿ + 1 для n = 0, 1, 2, 4. Найдите P(1).
Вариант 4.
Приведённый многочлен четвёртой степени P(x) удовлетворяет условиям P(2ⁿ + 1) = 8ⁿ + 1 для n = 0, 1, 2, 5. Найдите P(1).

Скачать полные задания и ответы