Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике для 11 класса на платформе «Сириус» (4 группа регионов) — 15.10.2026. Ищите задания олимпиады, ключи ответов и подробный разбор решений с пояснениями к основным математическим идеям.
В разборе можно проверить ход рассуждений, разобраться в логике решения задач и оценить обоснованность полученных результатов.
Регионы 4-й группы: Алтайский край, Амурская область, Еврейская автономная область, Забайкальский край, Иркутская область, Камчатский край, Кемеровская область — Кузбасс, Красноярский край, Магаданская область, Новосибирская область, Приморский край, Республика Алтай, Республика Бурятия, Республика Саха (Якутия), Республика Тыва, Республика Хакасия, Сахалинская область, Томская область, Хабаровский край, Чукотский автономный округ.
Задание 1.1. В конце четверти учитель математики обнаружил, что если он поставит ученикам 8А ещё 16 двоек, то средний балл класса по математике опустится до 3.5, а если поставит 8 пятёрок, то средний балл повысится до 4.5. Скольким ученикам 8А класса он уже выставил оценки за четверть?
Подписывайтесь на Telegram, чтобы следить за публикацией ответов, решений и подробных объяснений.
Скачать полные задания и ответыЗадание 1.2. В конце четверти учитель математики обнаружил, что если он поставит ученикам 8А ещё 11 двоек, то средний балл класса по математике опустится до 3.5, а если поставит 13 пятёрок, то средний балл повысится до 4.5. Скольким ученикам 8А класса он уже выставил оценки за четверть?
Скачать полные задания и ответыЗадание 1.3. В конце четверти учитель математики обнаружил, что если он поставит ученикам 8А ещё 14 двоек, то средний балл класса по математике опустится до 3.5, а если поставит 10 пятёрок, то средний балл повысится до 4.5. Скольким ученикам 8А класса он уже выставил оценки за четверть?
Скачать полные задания и ответыЗадание 1.4. В конце четверти учитель математики обнаружил, что если он поставит ученикам 8А ещё 17 двоек, то средний балл класса по математике опустится до 3.5, а если поставит 7 пятёрок, то средний балл повысится до 4.5. Скольким ученикам 8А класса он уже выставил оценки за четверть?
Скачать полные задания и ответыЗадание 2.1. Решите в целых числах уравнение
x + 1/(y + 1/z) = 14/5.
Здесь x и произведение yz положительны. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Для каждого случая в ответ записывайте произведение найденных чисел.
Скачать полные задания и ответыЗадание 2.2. Решите в целых числах уравнение
x + 1/(y + 1/z) = 17/6.
Здесь x и произведение yz положительны. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Для каждого случая в ответ записывайте произведение найденных чисел.
Скачать полные задания и ответыЗадание 2.3. Решите в целых числах уравнение
x + 1/(y + 1/z) = 11/4.
Здесь x и произведение yz положительны. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Для каждого случая в ответ записывайте произведение найденных чисел.
Скачать полные задания и ответыЗадание 2.4. Решите в целых числах уравнение
x + 1/(y + 1/z) = 8/3.
Здесь x и произведение yz положительны. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Для каждого случая в ответ записывайте произведение найденных чисел.
Скачать полные задания и ответыЗадание 3.1. В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 45 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях, при этом Коля отдыхал после первого заезда и начал движение на 4 минуты позже Пети. В итоге они встретились через 17 минут после начала движения Пети. А через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы одновременно поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.
Скачать полные задания и ответыЗадание 3.2. В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 42 минуты (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях, при этом Коля отдыхал после первого заезда и начал движение на 3 минуты позже Пети. В итоге они встретились через 12 минут после начала движения Пети. А через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы одновременно поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.
Скачать полные задания и ответыЗадание 3.3. В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 20 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях, при этом Коля отдыхал после первого заезда и начал движение на 6 минут позже Пети. В итоге они встретились через 18 минут после начала движения Пети. А через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы одновременно поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.
Скачать полные задания и ответыЗадание 3.4. В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 48 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях, при этом Коля отдыхал после первого заезда и начал движение на 6 минут позже Пети. В итоге они встретились через 15 минут после начала движения Пети. А через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы одновременно поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.
Скачать полные задания и ответыЗадание 4.1. Сколькими способами отрезок длины 37 можно разделить на четыре отрезка целочисленной длины так, чтобы среди этих четырёх отрезков было три отрезка одинаковой длины и из всех четырёх отрезков можно было бы сложить четырёхугольник?
Скачать полные задания и ответыЗадание 4.2. Сколькими способами отрезок длины 49 можно разделить на четыре отрезка целочисленной длины так, чтобы среди этих четырёх отрезков было три отрезка одинаковой длины и из всех четырёх отрезков можно было бы сложить четырёхугольник?
Скачать полные задания и ответыЗадание 4.3. Сколькими способами отрезок длины 53 можно разделить на четыре отрезка целочисленной длины так, чтобы среди этих четырёх отрезков было три отрезка одинаковой длины и из всех четырёх отрезков можно было бы сложить четырёхугольник?
Скачать полные задания и ответыЗадание 4.4. Сколькими способами отрезок длины 43 можно разделить на четыре отрезка целочисленной длины так, чтобы среди этих четырёх отрезков было три отрезка одинаковой длины и из всех четырёх отрезков можно было бы сложить четырёхугольник?
Скачать полные задания и ответыЗадание 5.1. Пусть a, b, c, d — различные ненулевые цифры. Известно, что сумма двузначных чисел a̅b̅, b̅c̅, c̅d̅, d̅a̅ — трёхзначное число N, начинающееся с цифр 31. Какое наибольшее число N может удовлетворять условию задачи?
Скачать полные задания и ответыЗадание 5.2. Пусть a, b, c, d — различные ненулевые цифры. Известно, что сумма двузначных чисел a̅b̅, b̅c̅, c̅d̅, d̅a̅ — трёхзначное число N, начинающееся с цифр 30. Какое наибольшее число N может удовлетворять условию задачи?
Скачать полные задания и ответыЗадание 5.3. Пусть a, b, c, d — различные ненулевые цифры. Известно, что сумма двузначных чисел a̅b̅, b̅c̅, c̅d̅, d̅a̅ — трёхзначное число N, начинающееся с цифр 29. Какое наибольшее число N может удовлетворять условию задачи?
Замечание. Запись x̅y̅ обозначает двузначное число, в котором x — количество десятков, y — количество единиц.
Скачать полные задания и ответыЗадание 5.4. Пусть a, b, c, d — различные ненулевые цифры. Известно, что сумма двузначных чисел a̅b̅, b̅c̅, c̅d̅, d̅a̅ — трёхзначное число N, начинающееся с цифр 27. Какое наибольшее число N может удовлетворять условию задачи?
Скачать полные задания и ответыЗадание 6.1. Ненулевые числа a, b, c, d, p, q, r, t таковы, что каждое из квадратных уравнений ax² − px + c = 0, bx² − qx + d = 0, cx² − rx + a = 0, dx² − tx + b = 0 имеет по два положительных корня, образующих множество K из восьми чисел — корней этих уравнений. Известно, что произведение шести наибольших чисел множества K равно 3, а сумма двух наименьших чисел множества K равна 7/6. Найдите наименьший из этих восьми корней.
Скачать полные задания и ответыЗадание 6.2. Ненулевые числа a, b, c, d, p, q, r, t таковы, что каждое из квадратных уравнений ax² − px + c = 0, bx² − qx + d = 0, cx² − rx + a = 0, dx² − tx + b = 0 имеет по два положительных корня, образующих множество K из восьми чисел — корней этих уравнений. Известно, что произведение шести наибольших чисел множества K равно 4, а сумма двух наименьших чисел множества K равна 13/12. Найдите наименьший из этих восьми корней.
Скачать полные задания и ответыЗадание 6.3. Ненулевые числа a, b, c, d, p, q, r, t таковы, что каждое из квадратных уравнений ax² − px + c = 0, bx² − qx + d = 0, cx² − rx + a = 0, dx² − tx + b = 0 имеет по два положительных корня, образующих множество K из восьми чисел — корней этих уравнений. Известно, что произведение шести наибольших чисел множества K равно 6, а сумма двух наименьших чисел множества K равна 31/30. Найдите наименьший из этих восьми корней.
Скачать полные задания и ответыЗадание 6.4. Ненулевые числа a, b, c, d, p, q, r, t таковы, что каждое из квадратных уравнений ax² − px + c = 0, bx² − qx + d = 0, cx² − rx + a = 0, dx² − tx + b = 0 имеет по два положительных корня, образующих множество K из восьми чисел — корней этих уравнений. Известно, что произведение шести наибольших чисел множества K равно 5, а сумма двух наименьших чисел множества K равна 21/20. Найдите наименьший из этих восьми корней.
Скачать полные задания и ответыЗадание 7.1. Дана треугольная пирамида ABCD. Середину ребра AB соединили с серединами всех других рёбер, кроме CD, и получили 4 отрезка, произведение длин которых равно 4. Найдите квадрат длины ребра CD, если известно, что произведение площадей треугольников CAD и CBD равно 16, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без AB и CD равна 40.
Скачать полные задания и ответыЗадание 7.2. Дана треугольная пирамида ABCD. Середину ребра AB соединили с серединами всех других рёбер, кроме CD, и получили 4 отрезка, произведение длин которых равно 16. Найдите квадрат длины ребра CD, если известно, что произведение площадей треугольников CAD и CBD равно 64, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без AB и CD равна 136.
Скачать полные задания и ответыЗадание 7.3. Дана треугольная пирамида ABCD. Середину ребра AB соединили с серединами всех других рёбер, кроме CD, и получили 4 отрезка, произведение длин которых равно 25. Найдите квадрат длины ребра CD, если известно, что произведение площадей треугольников CAD и CBD равно 100, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без AB и CD равна 208.
Скачать полные задания и ответыЗадание 7.4. Дана треугольная пирамида ABCD. Середину ребра AB соединили с серединами всех других рёбер, кроме CD, и получили 4 отрезка, произведение длин которых равно 9. Найдите квадрат длины ребра CD, если известно, что произведение площадей треугольников CAD и CBD равно 36, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без AB и CD равна 80.
Скачать полные задания и ответыЗадание 8.1. Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной a прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами 3a и 4a (полностью), вернувшись в исходную позицию.
Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что a = 1/π?
Скачать полные задания и ответыЗадание 8.2. Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной a прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами 8a и 15a (полностью), вернувшись в исходную позицию.
Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что a = 1/π?
Скачать полные задания и ответыЗадание 8.3. Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной a прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами 35a и 12a (полностью), вернувшись в исходную позицию.
Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что a = 1/π?
Скачать полные задания и ответыЗадание 8.4. Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной a прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами 5a и 12a (полностью), вернувшись в исходную позицию.
Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что a = 1/π?
Скачать полные задания и ответы