15 октября 2026 года проходит школьный этап олимпиады ВсОШ по математике для 6 класса на платформе SiriusOlimp. Публикация посвящена второй группе регионов и основным темам заданий: велогонке, окрашиванию бруска, логическим утверждениям о рыцарях и лжецах, операциям с четырьмя цифрами и необычным весам.
В перечень также входят квадратный муравейник, волшебный парк и пирамида из кирпичей. Для всех вариантов условий опубликованы ответы к заданиям 1 и 2.
________________________________________________________________________________________________________________________ЗАДАНИЯ 1–8
ЗАДАНИЕ 1 (версия условия 1)
Паша и Сева участвовали в велогонке. Паша чувствовал себя прекрасно и завершил гонку четвёртым. Сева плохо спал прошлой ночью, поэтому он финишировал предпоследним. Девять участников финишировали между Пашей и Севой. Сколько велосипедистов участвовало в гонке?
Ответ на задание:
15
ЗАДАНИЕ 1 (версия условия 2)
Паша и Сева участвовали в велогонке. Паша чувствовал себя прекрасно и завершил гонку четвёртым. Сева плохо спал прошлой ночью, поэтому он финишировал предпоследним. Семь участников финишировали между Пашей и Севой. Сколько велосипедистов участвовало в гонке?
Ответ на задание:
13
ЗАДАНИЕ 1 (версия условия 3)
Паша и Сева участвовали в велогонке. Паша чувствовал себя прекрасно и завершил гонку четвёртым. Сева плохо спал прошлой ночью, поэтому он финишировал предпоследним. Восемь участников финишировали между Пашей и Севой. Сколько велосипедистов участвовало в гонке?
Ответ на задание:
14
ЗАДАНИЕ 1 (версия условия 4)
Паша и Сева участвовали в велогонке. Паша чувствовал себя прекрасно и завершил гонку четвёртым. Сева плохо спал прошлой ночью, поэтому он финишировал предпоследним. Шесть участников финишировали между Пашей и Севой. Сколько велосипедистов участвовало в гонке?
Ответ на задание:
12
ЗАДАНИЕ 2 (версия условия 1)
У Вани есть деревянный брусок размером 18 × 18 × 11. Вся его поверхность окрашена в красный цвет. Ваня распилил брусок на кубики 1 × 1 × 1. У скольких из них ровно две грани красного цвета?
Ответ на задание:
164
ЗАДАНИЕ 2 (версия условия 2)
У Вани есть деревянный брусок размером 15 × 15 × 10. Вся его поверхность окрашена в красный цвет. Ваня распилил брусок на кубики 1 × 1 × 1. У скольких из них ровно две грани красного цвета?
Ответ на задание:
136
ЗАДАНИЕ 2 (версия условия 3)
У Вани есть деревянный брусок размером 16 × 16 × 11. Вся его поверхность окрашена в красный цвет. Ваня распилил брусок на кубики 1 × 1 × 1. У скольких из них ровно две грани красного цвета?
Ответ на задание:
148
ЗАДАНИЕ 2 (версия условия 4)
У Вани есть деревянный брусок размером 18 × 18 × 10. Вся его поверхность окрашена в красный цвет. Ваня распилил брусок на кубики 1 × 1 × 1. У скольких из них ровно две грани красного цвета?
Ответ на задание:
160 ЗАДАНИЕ 3 (версия условия 1)
На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. На заседании парламента острова собрались 140 жителей. У каждого из них спросили о том, сколько среди них рыцарей. Было названо 70 различных чисел. Затем половина участников покинула заседание. Одним из оставшихся оказался рыцарь Артур. У каждого из оставшихся 70 парламентариев спросили о том, сколько теперь рыцарей осталось на заседании. Оказалось, что все они назвали одно и то же число. Сколько рыцарей могло быть на заседании первоначально? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
ЗАДАНИЕ 3 (версия условия 2)
На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. На заседании парламента острова собрались 100 жителей. У каждого из них спросили о том, сколько среди них рыцарей. Было названо 50 различных чисел. Затем половина участников покинула заседание. Одним из оставшихся оказался рыцарь Артур. У каждого из оставшихся 50 парламентариев спросили о том, сколько теперь рыцарей осталось на заседании. Оказалось, что все они назвали одно и то же число. Сколько рыцарей могло быть на заседании первоначально? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
ЗАДАНИЕ 3 (версия условия 3)
На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. На заседании парламента острова собрались 120 жителей. У каждого из них спросили о том, сколько среди них рыцарей. Было названо 60 различных чисел. Затем половина участников покинула заседание. Одним из оставшихся оказался рыцарь Артур. У каждого из оставшихся 60 парламентариев спросили о том, сколько теперь рыцарей осталось на заседании. Оказалось, что все они назвали одно и то же число. Сколько рыцарей могло быть на заседании первоначально? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
ЗАДАНИЕ 3 (версия условия 4)
На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. На заседании парламента острова собрались 160 жителей. У каждого из них спросили о том, сколько среди них рыцарей. Было названо 80 различных чисел. Затем половина участников покинула заседание. Одним из оставшихся оказался рыцарь Артур. У каждого из оставшихся 80 парламентариев спросили о том, сколько теперь рыцарей осталось на заседании. Оказалось, что все они назвали одно и то же число. Сколько рыцарей могло быть на заседании первоначально? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. ЗАДАНИЕ 4 (версия условия 1)
На доске написаны 4 цифры в некотором порядке. За один ход разрешается или выбрать две соседние ненулевые цифры и уменьшить каждую из них на 1, или выбрать две соседние, отличные от девяток цифры и увеличить каждую из них на 1. За какое наименьшее число ходов из последовательности цифр 8, 4, 5, 9 (именно в таком порядке) можно получить 5, 2, 0, 3 (именно в таком порядке)?
ЗАДАНИЕ 4 (версия условия 2)
На доске написаны 4 цифры в некотором порядке. За один ход разрешается или выбрать две соседние ненулевые цифры и уменьшить каждую из них на 1, или выбрать две соседние, отличные от девяток цифры и увеличить каждую из них на 1. За какое наименьшее число ходов из последовательности цифр 7, 3, 3, 7 (именно в таком порядке) можно получить 5, 2, 0, 3 (именно в таком порядке)?
ЗАДАНИЕ 4 (версия условия 3)
На доске написаны 4 цифры в некотором порядке. За один ход разрешается или выбрать две соседние ненулевые цифры и уменьшить каждую из них на 1, или выбрать две соседние, отличные от девяток цифры и увеличить каждую из них на 1. За какое наименьшее число ходов из последовательности цифр 8, 4, 3, 7 (именно в таком порядке) можно получить 5, 2, 0, 3 (именно в таком порядке)?
ЗАДАНИЕ 4 (версия условия 4)
На доске написаны 4 цифры в некотором порядке. За один ход разрешается или выбрать две соседние ненулевые цифры и уменьшить каждую из них на 1, или выбрать две соседние, отличные от девяток цифры и увеличить каждую из них на 1. За какое наименьшее число ходов из последовательности цифр 9, 5, 3, 7 (именно в таком порядке) можно получить 5, 2, 0, 3 (именно в таком порядке)?
Ключ к заданию №4: наименьшее число ходов, чтобы превратить четыре цифры в 5, 2, 0, 3 увеличением или уменьшением соседних парОтвет → ЗАДАНИЕ 5 (версия условия 1)
Есть восемь гирек разной целой массы в граммах. Масса одной из них равна 16 г. В необыкновенные весы можно поместить две гирьки, и они покажут, во сколько раз одна тяжелее другой (это число не обязательно будет целым). Весы использовали для каждой возможной пары гирек. Оказалось, что не менее пяти раз весы показали число 2. Найдите наименьшую возможную массу всех восьми гирек.
ЗАДАНИЕ 5 (версия условия 2)
Есть восемь гирек разной целой массы в граммах. Масса одной из них равна 10 г. В необыкновенные весы можно поместить две гирьки, и они покажут, во сколько раз одна тяжелее другой (это число не обязательно будет целым). Весы использовали для каждой возможной пары гирек. Оказалось, что не менее пяти раз весы показали число 2. Найдите наименьшую возможную массу всех восьми гирек.
ЗАДАНИЕ 5 (версия условия 3)
Есть восемь гирек разной целой массы в граммах. Масса одной из них равна 24 г. В необыкновенные весы можно поместить две гирьки, и они покажут, во сколько раз одна тяжелее другой (это число не обязательно будет целым). Весы использовали для каждой возможной пары гирек. Оказалось, что не менее трёх раз весы показали число 3. Найдите наименьшую возможную массу всех восьми гирек.
ЗАДАНИЕ 5 (версия условия 4)
Есть восемь гирек разной целой массы в граммах. Масса одной из них равна 12 г. В необыкновенные весы можно поместить две гирьки, и они покажут, во сколько раз одна тяжелее другой (это число не обязательно будет целым). Весы использовали для каждой возможной пары гирек. Оказалось, что не менее пяти раз весы показали число 2. Найдите наименьшую возможную массу всех восьми гирек.
ЗАДАНИЕ 6 (версия условия 1)
Муравейник представляет собой квадрат, каждая клетка которого является комнатой. В муравейнике живёт 1121 муравей: обычные и муравьиные королевы. Обычные муравьи занимают одну комнату, а муравьиные королевы — все комнаты квадрата 3 × 3. Оказалось, что все комнаты заняты, причём каждая — ровно одним муравьём. Найдите наименьшую возможную длину стороны муравейника.
ЗАДАНИЕ 6 (версия условия 2)
Муравейник представляет собой квадрат, каждая клетка которого является комнатой. В муравейнике живёт 1401 муравей: обычные и муравьиные королевы. Обычные муравьи занимают одну комнату, а муравьиные королевы — все комнаты квадрата 3 × 3. Оказалось, что все комнаты заняты, причём каждая — ровно одним муравьём. Найдите наименьшую возможную длину стороны муравейника.
ЗАДАНИЕ 6 (версия условия 3)
Муравейник представляет собой квадрат, каждая клетка которого является комнатой. В муравейнике живёт 1249 муравьёв: обычные и муравьиные королевы. Обычные муравьи занимают одну комнату, а муравьиные королевы — все комнаты квадрата 3 × 3. Оказалось, что все комнаты заняты, причём каждая — ровно одним муравьём. Найдите наименьшую возможную длину стороны муравейника.
ЗАДАНИЕ 6 (версия условия 4)
Муравейник представляет собой квадрат, каждая клетка которого является комнатой. В муравейнике живёт 1001 муравей: обычные и муравьиные королевы. Обычные муравьи занимают одну комнату, а муравьиные королевы — все комнаты квадрата 3 × 3. Оказалось, что все комнаты заняты, причём каждая — ровно одним муравьём. Найдите наименьшую возможную длину стороны муравейника.
Ключ к заданию №6: муравейник-квадрат, в котором муравьиные королевы занимают квадраты 3 × 3, — наименьшая сторонаОтвет →
ЗАДАНИЕ 7
Волшебный парк состоит из 15 квадратных лугов, как показано на рисунке. Число внутри каждого квадрата указывает, сколько волшебных цветков соберёт Лиза, если пройдёт через этот луг. Лиза начинает от входа, обозначенного стрелкой, на лугу с одним цветком, а заканчивает у выхода на лугу с двумя цветками. Каждый раз Лиза переходит на луг, соседствующий по стороне с текущим. Лиза не посещает квадраты, на которых она уже бывала ранее. Если после прохода по очередному лугу количество цветков, которые окажутся в корзине Лизы, будет чётным, то все они исчезнут, и после посещения следующего луга у Лизы в корзине будет столько цветков, сколько растёт на этом следующем лугу. Например, если Лиза пройдёт по маршруту, показанному на рисунке, то на выходе из парка у неё будет 5 цветков.
Какое наибольшее число цветков может иметь Лиза на выходе из парка? ЗАДАНИЕ 8 (версия условия 1)
Из 15 кирпичей построили пирамиду, как показано на рисунке (на рисунке указано число 1977). На кирпичах написаны различные целые положительные числа, некоторые из них также указаны на рисунке. Оказалось, что число на каждом кирпиче, кроме нижних, равно сумме чисел на двух кирпичах, на которые он опирается.
Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих во втором снизу ряду.
Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих в нижнем ряду.
ЗАДАНИЕ 8 (версия условия 2)
Из 15 кирпичей построили пирамиду, как показано на рисунке (на рисунке указано число 1972). На кирпичах написаны различные целые положительные числа, некоторые из них также указаны на рисунке. Оказалось, что число на каждом кирпиче, кроме нижних, равно сумме чисел на двух кирпичах, на которые он опирается.
Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих во втором снизу ряду.
Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих в нижнем ряду.
ЗАДАНИЕ 8 (версия условия 3)
Из 15 кирпичей построили пирамиду, как показано на рисунке (на рисунке указано число 1975). На кирпичах написаны различные целые положительные числа, некоторые из них также указаны на рисунке. Оказалось, что число на каждом кирпиче, кроме нижних, равно сумме чисел на двух кирпичах, на которые он опирается.
Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих во втором снизу ряду.
Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих в нижнем ряду.
ЗАДАНИЕ 8 (версия условия 4)
Из 15 кирпичей построили пирамиду, как показано на рисунке (на рисунке указано число 1979). На кирпичах написаны различные целые положительные числа, некоторые из них также указаны на рисунке. Оказалось, что число на каждом кирпиче, кроме нижних, равно сумме чисел на двух кирпичах, на которые он опирается.
Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих во втором снизу ряду.
Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих в нижнем ряду.