02-16 февраля 2026 г. олимпиада Курчатов по Математике 10-11 класс отборочный тур, ответы, задания скачать на все варианты. материалы включают 4 варианта
Скачать можно https://clck.ru/3Rg6wS
Олимпиада «Курчатов» по Математике 2025-2026
Задание 1.1. Найдите такие значения параметра a, при которых уравнение x^2 − ax − 4 = 0 имеет два различных корня x1 и x2, причём выполняется равенство
x1 − 44/(x1^2) = x2 − 44/(x2^2).
Если таких a несколько, в качестве ответа введите их произведение; если таких a не существует, введите 12345.
Правильный ответ: -4/11
Задание 1.2. Найдите такие значения параметра a, при которых уравнение x^2 − ax − 2 = 0 имеет два различных корня x1 и x2, причём выполняется равенство
x1 − 17/(x1^2) = x2 − 17/(x2^2).
Если таких a несколько, в качестве ответа введите их произведение; если таких a не существует, введите 12345.
Правильный ответ: -4/17
Задание 1.3. Найдите такие значения параметра a, при которых уравнение x^2 − ax − 1 = 0 имеет два различных корня x1 и x2, причём выполняется равенство
x1 − 58/(x1^2) = x2 − 58/(x2^2).
Если таких a несколько, в качестве ответа введите их произведение; если таких a не существует, введите 12345.
Правильный ответ: -1/58
Задание 1.4. Найдите такие значения параметра a, при которых уравнение x^2 − ax − 3 = 0 имеет два различных корня x1 и x2, причём выполняется равенство
x1 − 21/(x1^2) = x2 − 21/(x2^2).
Если таких a несколько, в качестве ответа введите их произведение; если таких a не существует, введите 12345.
Правильный ответ: -3/7
Задание 2.1. Сумма двадцати пяти последовательных натуральных нечётных чисел, меньшее из которых больше единицы, равна N^2.
Укажите минимальное возможное значение числа N.
Задание 2.2. Сумма девяти последовательных натуральных нечётных чисел, меньшее из которых больше единицы, равна N^2.
Укажите минимальное возможное значение числа N.
Задание 2.3. Сумма восемнадцати последовательных натуральных нечётных чисел, меньшее из которых больше единицы, равна N^2.
Укажите минимальное возможное значение числа N.
Задание 2.4. Сумма восьми последовательных натуральных нечётных чисел, меньшее из которых больше единицы, равна N^2.
Укажите минимальное возможное значение числа N.
Задание 3.1. В конкурсе приняли участие m учеников из Эмска и n — из Энска. Участников из других городов не было. Известно, что вероятность при случайном выборе двух участников конкурса получить пару из одного города такая же, как и вероятность получить пару из разных городов.
Найдите максимальное возможное значение n + m, если известно, что это число не больше 2505.
Задание 3.2. В конкурсе приняли участие m учеников из Эмска и n — из Энска. Участников из других городов не было. Известно, что вероятность при случайном выборе двух участников конкурса получить пару из одного города такая же, как и вероятность получить пару из разных городов.
Найдите максимальное возможное значение n + m, если известно, что это число не больше 2005.
Задание 3.3. В конкурсе приняли участие m учеников из Эмска и n — из Энска. Участников из других городов не было. Известно, что вероятность при случайном выборе двух участников конкурса получить пару из одного города такая же, как и вероятность получить пару из разных городов.
Найдите максимальное возможное значение n + m, если известно, что это число не больше 2026.
Задание 3.4. В конкурсе приняли участие m учеников из Эмска и n — из Энска. Участников из других городов не было. Известно, что вероятность при случайном выборе двух участников конкурса получить пару из одного города такая же, как и вероятность получить пару из разных городов.
Найдите максимальное возможное значение n + m, если известно, что это число не больше 2125.
Задание 4.1. Найдите корни уравнения
sqrt(−sin^2 x − sin x + 10) − √(cos^2 x − cos x + 10) = (1/3)cos x − (1/3)sin x − 1/3,
по модулю не превосходящие 9π.
В качестве ответа укажите их сумму, делённую на π.
Задание 4.2. Найдите корни уравнения
√(sin^2 x + sin x + 6) − √(−cos^2 x − cos x + 6) = (1/2)sin x + (1/2)cos x + 1/2,
по модулю не превосходящие 3π.
В качестве ответа укажите их сумму, делённую на π.
Задание 4.3. Найдите корни уравнения
√(sin^2 x + sin x + 4) − √(−cos^2 x + cos x + 4) = sin x − cos x + 1,
по модулю не превосходящие 5π.
В качестве ответа укажите их сумму, делённую на π.
Задание 4.4. Найдите корни уравнения
√(−sin^2 x + sin x + 8) − √(cos^2 x − cos x + 8) = 2sin x + 2cos x − 2,
по модулю не превосходящие 7π.
В качестве ответа укажите их сумму, делённую на π.
Задание 5.1. Три богатыря: Добрыня, Илья и Алёша, собрались выкосить поле ржи. Каждый из них, работая в одиночку, справится за время t1, t2 и t3 соответственно, причём времена t1, t2 и t3 — корни уравнения
161t^3 − 93t^2 + 17t − 1 = 0.
Алёша предложил косить всем вместе, но Илья возразил, что в таком случае границы останутся без надзора и лучше каждому выкосить ровно по трети поля, пока остальные двое в дозоре.
Во сколько раз быстрее богатыри выкосят поле, работая все вместе, чем если они будут работать поочерёдно каждый со своей собственной скоростью уборки ржи?
Задание 5.2. Три богатыря: Добрыня, Илья и Алёша, собрались выкосить поле ржи. Каждый из них, работая в одиночку, справится за время t1, t2 и t3 соответственно, причём времена t1, t2 и t3 — корни уравнения
150t^3 − 145t^2 + 26t − 1 = 0.
Алёша предложил косить всем вместе, но Илья возразил, что в таком случае границы останутся без надзора и лучше каждому выкосить ровно по трети поля, пока остальные двое в дозоре.
Во сколько раз быстрее богатыри выкосят поле, работая все вместе, чем если они будут работать поочерёдно каждый со своей собственной скоростью уборки ржи?
Задание 5.3. Три богатыря: Добрыня, Илья и Алёша, собрались выкосить поле ржи. Каждый из них, работая в одиночку, справится за время t1, t2 и t3 соответственно, причём времена t1, t2 и t3 — корни уравнения
242t^3 − 209t^2 + 46t − 1 = 0.
Алёша предложил косить всем вместе, но Илья возразил, что в таком случае границы останутся без надзора и лучше каждому выкосить ровно по трети поля, пока остальные двое в дозоре.
Во сколько раз быстрее богатыри выкосят поле, работая все вместе, чем если они будут работать поочерёдно каждый со своей собственной скоростью уборки ржи?
Задание 5.4. Три богатыря: Добрыня, Илья и Алёша, собрались выкосить поле ржи. Каждый из них, работая в одиночку, справится за время t1, t2 и t3 соответственно, причём времена t1, t2 и t3 — корни уравнения
196t^3 − 161t^2 + 32t − 1 = 0.
Алёша предложил косить всем вместе, но Илья возразил, что в таком случае границы останутся без надзора и лучше каждому выкосить ровно по трети поля, пока остальные двое в дозоре.
Во сколько раз быстрее богатыри выкосят поле, работая все вместе, чем если они будут работать поочерёдно каждый со своей собственной скоростью уборки ржи?
Задание 6.1. Центр O окружности ω лежит на окружности Ω, MN — общая хорда окружностей. Точка K лежит на Ω, оказалось, что отрезок KO пересекает биссектрису угла ∠KMN на окружности ω, кроме того высоты треугольника KMN пересекаются на ω.
Найдите расстояние между центрами окружностей, если MN = 58√3.
Задание 6.2. Центр O окружности ω лежит на окружности Ω, MN — общая хорда окружностей. Точка K лежит на Ω, оказалось, что отрезок KO пересекает биссектрису угла ∠KMN на окружности ω, кроме того высоты треугольника KMN пересекаются на ω.
Найдите расстояние между центрами окружностей, если MN = 17√3.
Задание 6.3. Центр O окружности ω лежит на окружности Ω, MN — общая хорда окружностей. Точка K лежит на Ω, оказалось, что отрезок KO пересекает биссектрису угла ∠KMN на окружности ω, кроме того высоты треугольника KMN пересекаются на ω.
Найдите расстояние между центрами окружностей, если MN = 33√3.
Задание 6.4. Центр O окружности ω лежит на окружности Ω, MN — общая хорда окружностей. Точка K лежит на Ω, оказалось, что отрезок KO пересекает биссектрису угла ∠KMN на окружности ω, кроме того высоты треугольника KMN пересекаются на ω.
Найдите расстояние между центрами окружностей, если MN = 28√3.