Заключительный этап олимпиады «Звезда» по естественным наукам для учащихся 6, 7, 8,9, 10,11 класса от 01.02.2026 г., посвящённая выявлению талантливых учащихся. Содержит задания к двум вариантам , ответы, форму и авторские решения. Будет полезна учителям, ученикам и репетиторам.
https://clck.ru/3RRWqo
https://clck.ru/3RRWqo
https://clck.ru/3RRWqo
Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда»
по естественным наукам
6 класс Заключительный тур 2025 -2026
Вариант 1
1. (12 баллов) Прямоугольник разрезан на 8 квадратов (смотрите рисунок). Длина
прямоугольника равна 64. Найдите его ширину.
2. (13 баллов) В ребусе каждая буква обозначает цифру, причём разные буквы
обозначают разные цифры.
Какое наибольшее количество (n) слов «СНЕГ» может быть в ребусе? Какое
наименьшее число может быть зашифровано словом «ЗИМА» при этом n? Найдите
соответствующее решение ребуса.
3. (12 баллов) Для натуральных чисел a, b, c выполнено условие:
18a19b21c 136.
Чему равно выражение a bc ? Найдите все возможные его значения. Ответ обоснуйте.
Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда»
по естественным наукам
6 класс Заключительный тур 2025 -2026
Вариант 2
1. (12 баллов) Прямоугольник разрезан на 8 квадратов (смотрите рисунок). Длина
прямоугольника равна 96. Найдите его ширину.
2. (13 баллов) В ребусе каждая буква обозначает цифру, причём разные буквы
обозначают разные цифры.
Какое наибольшее количество (n) слов «СНЕГ» может быть в ребусе? Какое
наибольшее число может быть зашифровано словом «ЗИМА» при этом n? Найдите
соответствующее решение ребуса.
3. (12 баллов) Для натуральных чисел a, b, c выполнено условие:
Чему равно выражение a bc ? Найдите все возможные его значения. Ответ обоснуйте.
Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда»
по естественным наукам
7 класс Заключительный тур 2025-2026
Вариант 1
1. (12 баллов) Расположите в порядке возрастания числа
𝑥=222…21222…23,𝑦=333…31333…34,𝑧=444…41444…45.
В числителе и знаменателе каждой дроби стоят 2026-значные числа.
2. (12 баллов) В треугольнике расположены семь кругов, в двух из них записаны данные числа (см. рис.).
Расставьте в свободных кругах натуральные числа так, чтобы сумма чисел по каждой прямой, содержащей три круга, была одна и та же. Найдите количество возможных расстановок.
3. (13 баллов) Дан ∠𝐴𝐵𝐶=60°. Из точки А внутри угла проведён луч, образующий с 𝐴𝐵 угол в 𝑥 градусов. Из некоторой точки этого луча снова проведён луч, также образующий с первым лучом угол в 𝑥 градусов. И так далее. Всего аналогичным образом было построено 7 лучей (смотри рисунок). Оказалось, что седьмой луч проходит через точку С и образует с ВС угол в 𝑥 градусов. Найдите 𝑥 (в градусах).
Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда»
по естественным наукам
7 класс Заключительный тур 2025-2026
Вариант 2
1. (12 баллов) Расположите в порядке возрастания числа
𝑥=444…41444…45,𝑦=555…51555…56,𝑧=666…61666…67 .
В числителе и знаменателе каждой дроби стоят 2026-значные числа.
2. (12 баллов) В треугольнике расположены семь кругов, в двух из них записаны данные числа (см. рис.).
Расставьте в свободных кругах натуральные числа так, чтобы сумма чисел по каждой прямой, содержащей три круга, была одна и та же. Найдите наибольшее возможное значение такой суммы.
3. (13 баллов) Дан ∠𝐴𝐵𝐶=68°. Из точки А внутри угла проведён луч, образующий с 𝐴𝐵 угол в 𝑥 градусов. Из некоторой точки этого луча снова проведён луч, также образующий с первым лучом угол в 𝑥 градусов. И так далее. Всего аналогичным образом было построено 7 лучей (смотри рисунок). Оказалось, что седьмой луч проходит через точку С и образует с ВС угол в 𝑥 градусов. Найдите 𝑥 (в градусах).
Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда»
по естественным наукам
8 класс Заключительный тур 2025-2026
Вариант 1
1. (12 баллов) В треугольнике расположены семь кругов, в двух из них записаны данные числа (см. рис.).
Расставьте в свободных кругах натуральные числа так, чтобы сумма чисел по каждой прямой, содержащей три круга, была одна и та же. Найдите количество возможных расстановок.
2. (12 баллов) Даны 7 последовательных чисел. Сумма некоторых трёх из них равна 2026, а сумма трёх других 2030. Чему может быть равно оставшееся число, не попавшее ни в одну из этих сумм?
3. (13 баллов) Основания правильных равных треугольников ABC, СDE, ЕFG и GHP лежат на одной прямой AP. Площадь каждого треугольника равна 90. Прямая BP пересекает отрезки DE и EF в точках M и N соответственно. Найдите площадь треугольника EMN.
Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда»
по естественным наукам
8 класс Заключительный тур 2025-2026
Вариант 2
1. (12 баллов) В треугольнике расположены семь кругов, в двух из них записаны данные числа (см. рис.).
Расставьте в свободных кругах натуральные числа так, чтобы сумма чисел по каждой прямой, содержащей три круга, была одна и та же. Найдите наибольшее возможное значение такой суммы.
2. (12 баллов) Даны 7 последовательных чисел. Сумма некоторых трёх из них равна 2026, а сумма трёх других 2032. Чему может быть равно оставшееся число, не попавшее ни в одну из этих сумм?
3. (13 баллов) Основания правильных равных треугольников ABC, СDE, ЕFG и GHP лежат на одной прямой AP. Площадь каждого треугольника равна 60. Прямая BP пересекает отрезки DE и EF в точках M и N соответственно. Найдите площадь треугольника EMN.
Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда»
по естественным наукам
9 класс Заключительный тур 2025 -2026
Вариант 1
1. (11 баллов) Известно, что
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
+
𝑎−𝑏
𝑎+𝑏
= 3. Найдите
𝑎4+𝑏4
𝑎4−𝑏4 +
𝑎4−𝑏4
𝑎4+𝑏4.
2. (12 баллов) Даны 7 последовательных чисел. Сумма некоторых трёх из них равна
2026, а сумма трёх других 2030. Чему может быть равно оставшееся число, не попавшее
ни в одну из этих сумм?
3. (13 баллов) Назовём «тэшкой» фигуру из четырёх клеточек в виде буквы «Т» с
укороченной ножкой. Какое наибольшее количество тэшек можно выложить в
прямоугольнике 6 22 без наложений и выходов за границу? Приведите пример на Ваш
ответ и докажите, что больше выложить нельзя.
Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда»
по естественным наукам
9 класс Заключительный тур 2025 -2026
Вариант 2
1. (11 баллов) Известно, что
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
+
𝑎−𝑏
𝑎+𝑏
= 5. Найдите
𝑎4+𝑏4
𝑎4−𝑏4 +
𝑎4−𝑏4
𝑎4+𝑏4.
2. (12 баллов) Даны 7 последовательных чисел. Сумма некоторых трёх из них равна
2026, а сумма трёх других 2032. Чему может быть равно оставшееся число, не попавшее
ни в одну из этих сумм?
3. (13 баллов) Назовём «тэшкой» фигуру из четырёх клеточек в виде буквы «Т» с
укороченной ножкой. Какое наибольшее количество тэшек можно выложить в
прямоугольнике 6 18 без наложений и выходов за границу? Приведите пример на Ваш
ответ и докажите, что больше выложить нельзя.
Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда»
по естественным наукам
10 класс Заключительный тур 2025 -2026
Вариант 1
1. (12 баллов) В соревнованиях по шашкам приняли участие 3 студента первого курса
и несколько студентов второго курса. Три первокурсника набрали вместе 16 очков, а
каждый второкурсник набрал одинаковое число очков. Сколько второкурсников
участвовало в соревновании, если каждый из участников соревнования играет с каждым
из остальных по одной партии. За выигрыш даётся 1 очко, за ничью – ½ очка, за
проигрыш – 0 очков. Найдите все решения.
2. (13 баллов) Назовём «тэшкой» фигуру из четырёх клеточек в виде буквы «Т» с
укороченной ножкой. Какое наибольшее количество тэшек можно выложить в
прямоугольнике 6 22 без наложений и выходов за границу? Приведите пример на Ваш
ответ и докажите, что больше выложить нельзя.
3. (13 баллов) Решите систему уравнений
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 16,
𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑥𝑡 + 𝑦𝑧 + 𝑦𝑡 + 𝑧𝑡 = 96.
Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда»
по естественным наукам
10 класс Заключительный тур 2025 -2026
Вариант 2
1. (12 баллов) В соревнованиях по шашкам приняли участие 4 студента первого курса
и несколько студентов второго курса. Четыре первокурсника набрали вместе 19 очков, а
каждый второкурсник набрал одинаковое число очков. По сколько очков набрал каждый
второкурсник, при условии, что каждый из участников соревнования играет с каждым из
остальных по одной партии. За выигрыш даётся 1 очко, за ничью – ½ очка, за
проигрыш – 0 очков. Найдите все решения.
2. (13 баллов) Назовём «тэшкой» фигуру из четырёх клеточек в виде буквы «Т» с
укороченной ножкой. Какое наибольшее количество тэшек можно выложить в
прямоугольнике 6 18 без наложений и выходов за границу? Приведите пример на Ваш
ответ и докажите, что больше выложить нельзя.
3. (12 баллов) Решите систему уравнений
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 12,
𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑥𝑡 + 𝑦𝑧 + 𝑦𝑡 + 𝑧𝑡 = 54.
Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда»
по естественным наукам
11 класс Заключительный тур 2025-2026
Вариант 1
1. (11 баллов) Решите уравнение 𝑥2−30𝑦2=1 в простых числах.
2. (13 баллов) Пусть
𝑃𝑛(𝑥)=(𝑥2−𝑥+1)∙(𝑥4−𝑥2+1)∙…∙(𝑥2𝑛−𝑥2𝑛−1+1).
Установите, что больше: 𝑃12(2) или 102400?
3. (13 баллов) Буратино и Пьеро пришли в гости к Мальвине. Мальвина для них приготовила угощенье: пиццу, тортик и кувшин с компотом. Известно, что Пьеро может съесть пиццу за 9 минут, тортик за 15 минут и выпить кувшин компота за 14 минут, а Буратино может все это сделать за 7, 5 и 7 минут соответственно. За какое наименьшее время они завершат трапезу?
Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда»
по естественным наукам
11 класс Заключительный тур 2025-2026
Вариант 2
1. (11 баллов) Решите уравнение 𝑥2−42𝑦2=1 в простых числах.
2. (13 баллов) Пусть
𝑃𝑛(𝑥)=(𝑥2−𝑥+1)∙(𝑥4−𝑥2+1)∙…∙(𝑥2𝑛−𝑥2𝑛−1+1).
Установите, что больше: 𝑃11(2) или 101200?
3. (13 баллов) Пятачок и Винни Пух пришли в гости к Кролику. Кролик для них приготовил угощенье: банку мёда, торт и кастрюлю с компотом. Известно, что Пятачок может съесть банку мёда за 10 минут, торт за 13 минут и выпить кастрюлю компота за 14 минут, а Винни Пух может все это сделать за 6, 6 и 7 минут соответственно. За какое наименьшее время они завершат трапезу?