Школьный этап ВсОШ по математике 10 класс 2026–2027: задания, ответы и разбор решений!13 октября 2026 года на платформе «Сириус» (siriusolymp.ru) проходит школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике для учащихся 10 класса из 2 группы регионов. В публикации собрана информация о заданиях олимпиады, ответах и авторских решениях. Пошаговый разбор поможет понять логику задач, сравнить способы решения и разобраться в сложных моментах.
Задание 1. Вариант 1 (страница 1 PDF).
На рисунке изображён график функции y = −a − |kx + b|.
Выберите те утверждения, которые могут быть верны:
a < 0, k < 0, b < 0
a > 0, k < 0, b > 0
a > 0, k > 0, b > 0
a < 0, k < 0, b > 0
a < 0, k > 0, b > 0
a < 0, k > 0, b < 0
a > 0, k > 0, b < 0
a > 0, k < 0, b < 0
Вариант 2 (страница 10 PDF).
На рисунке изображён график функции y = a − |kx − b|.
Выберите те утверждения, которые могут быть верны:
a < 0, k > 0, b > 0
a < 0, k < 0, b < 0
a > 0, k > 0, b > 0
a > 0, k > 0, b < 0
a > 0, k < 0, b < 0
a < 0, k < 0, b > 0
a > 0, k < 0, b > 0
a < 0, k > 0, b < 0
Вариант 3 (страница 23 PDF).
На рисунке изображён график функции y = a − |kx + b|.
Выберите те утверждения, которые могут быть верны:
a > 0, k < 0, b > 0
a > 0, k > 0, b < 0
a > 0, k > 0, b > 0
a > 0, k < 0, b < 0
a < 0, k < 0, b < 0
a < 0, k > 0, b > 0
a < 0, k > 0, b < 0
a < 0, k < 0, b > 0
Вариант 4 (страница 42 PDF).
На рисунке изображён график функции y = −a − |kx − b|.
Выберите те утверждения, которые могут быть верны:
a < 0, k < 0, b < 0
a > 0, k < 0, b < 0
a < 0, k < 0, b > 0
a > 0, k < 0, b > 0
a > 0, k > 0, b < 0
a < 0, k > 0, b < 0
a > 0, k > 0, b > 0
a < 0, k > 0, b > 0
Скачать полные задания и ответыЗадание 2. Вариант 1.
Числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию (в таком порядке), числа b, c, 8 — геометрическую прогрессию (в таком порядке), и при этом a + b + c = 54.
Какие значения может принимать b? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Какие значения может принимать a? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 2.
Числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию (в таком порядке), числа b, c, 45 — геометрическую прогрессию (в таком порядке), и при этом a + b + c = 60.
Какие значения может принимать b? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Какие значения может принимать a? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 3.
Числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию (в таком порядке), числа b, c, 27 — геометрическую прогрессию (в таком порядке), и при этом a + b + c = 36.
Какие значения может принимать b? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Какие значения может принимать a? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 4.
Числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию (в таком порядке), числа b, c, 18 — геометрическую прогрессию (в таком порядке), и при этом a + b + c = 24.
Какие значения может принимать b? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Какие значения может принимать a? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Скачать полные задания и ответыЗадание 3. Вариант 1.
На окружности отмечены 18 точек. Они пронумерованы по часовой стрелке последовательно целыми числами от 1 до 18. Какова вероятность, что у случайно выбранного треугольника с вершинами в этих точках все вершины будут одной чётности?
Вариант 2.
На окружности отмечены 20 точек. Они пронумерованы по часовой стрелке последовательно целыми числами от 1 до 20. Какова вероятность, что у случайно выбранного треугольника с вершинами в этих точках все вершины будут одной чётности?
Вариант 3.
На окружности отмечены 12 точек. Они пронумерованы по часовой стрелке последовательно целыми числами от 1 до 12. Какова вероятность, что у случайно выбранного треугольника с вершинами в этих точках все вершины будут одной чётности?
Вариант 4.
На окружности отмечены 14 точек. Они пронумерованы по часовой стрелке последовательно целыми числами от 1 до 14. Какова вероятность, что у случайно выбранного треугольника с вершинами в этих точках все вершины будут одной чётности?
Скачать полные задания и ответыЗадание 4. Вариант 1.
Найдите все натуральные числа n, для которых оба числа n + 5 и n + 32 являются точными квадратами. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 2.
Найдите все натуральные числа n, для которых оба числа n + 12 и n + 45 являются точными квадратами. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 3.
Найдите все натуральные числа n, для которых оба числа n + 20 и n + 59 являются точными квадратами. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 4.
Найдите все натуральные числа n, для которых оба числа n + 6 и n + 61 являются точными квадратами. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Скачать полные задания и ответыЗадание 5. Вариант 1.
В треугольнике ABC со сторонами AB = 5 и AC = 6 провели биссектрису AD. Прямая, проходящая через точку D перпендикулярно этой биссектрисе, пересекает прямые AB и AC в точках F и E соответственно. Найдите EC − FB.
Вариант 2.
В треугольнике ABC со сторонами AB = 3 и AC = 4 провели биссектрису AD. Прямая, проходящая через точку D перпендикулярно этой биссектрисе, пересекает прямые AB и AC в точках F и E соответственно. Найдите EC − FB.
Вариант 3.
В треугольнике ABC со сторонами AB = 4 и AC = 5 провели биссектрису AD. Прямая, проходящая через точку D перпендикулярно этой биссектрисе, пересекает прямые AB и AC в точках F и E соответственно. Найдите EC − FB.
Вариант 4.
В треугольнике ABC со сторонами AB = 6 и AC = 7 провели биссектрису AD. Прямая, проходящая через точку D перпендикулярно этой биссектрисе, пересекает прямые AB и AC в точках F и E соответственно. Найдите EC − FB.
Скачать полные задания и ответыЗадание 6. Вариант 1.
Последовательность задана условиями a₁ = 2, aₙ₊₁ = (aₙ − 1)/(aₙ + 1) при всех натуральных n.
Найдите a₂₀₂₆.
Найдите сумму первых 2026 членов последовательности.
Вариант 2.
Последовательность задана условиями a₁ = 3, aₙ₊₁ = (aₙ − 1)/(aₙ + 1) при всех натуральных n.
Найдите a₂₀₃₀.
Найдите сумму первых 2030 членов последовательности.
Вариант 3.
Последовательность задана условиями a₁ = 5, aₙ₊₁ = (aₙ − 1)/(aₙ + 1) при всех натуральных n.
Найдите a₂₀₀₂.
Найдите сумму первых 2002 членов последовательности.
Вариант 4.
Последовательность задана условиями a₁ = 4, aₙ₊₁ = (aₙ − 1)/(aₙ + 1) при всех натуральных n.
Найдите a₂₀₁₈.
Найдите сумму первых 2018 членов последовательности.
Скачать полные задания и ответыЗадание 7. Вариант 1.
Имеется натуральное число N. Алиса и Маруся по очереди выписывают на доску различные натуральные числа по следующему правилу: каждое выписанное число должно быть делителем N и при этом быть взаимно просто со всеми числами, уже выписанными на доску. Алиса ходит первой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Сколько существует натуральных чисел N, не больших 80, таких, что Маруся имеет возможность выиграть независимо от действий Алисы?
Вариант 2.
Имеется натуральное число N. Алиса и Маруся по очереди выписывают на доску различные натуральные числа по следующему правилу: каждое выписанное число должно быть делителем N и при этом быть взаимно просто со всеми числами, уже выписанными на доску. Алиса ходит первой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Сколько существует натуральных чисел N, не больших 90, таких, что Маруся имеет возможность выиграть независимо от действий Алисы?
Вариант 3.
Имеется натуральное число N. Алиса и Маруся по очереди выписывают на доску различные натуральные числа по следующему правилу: каждое выписанное число должно быть делителем N и при этом быть взаимно просто со всеми числами, уже выписанными на доску. Алиса ходит первой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Сколько существует натуральных чисел N, не больших 110, таких, что Маруся имеет возможность выиграть независимо от действий Алисы?
Вариант 4.
Имеется натуральное число N. Алиса и Маруся по очереди выписывают на доску различные натуральные числа по следующему правилу: каждое выписанное число должно быть делителем N и при этом быть взаимно просто со всеми числами, уже выписанными на доску. Алиса ходит первой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Сколько существует натуральных чисел N, не больших 100, таких, что Маруся имеет возможность выиграть независимо от действий Алисы?
Скачать полные задания и ответыЗадание 8. Вариант 1.
Точки A, B, C, D и E последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой окружности.
Точки E, F, G, H, I и A последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой другой окружности с центром C. Известно, что угол ABD больше угла AHG на 9°. Найдите градусную меру угла BAI.
Вариант 2.
Точки A, B, C, D и E последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой окружности.
Точки E, F, G, H, I и A последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой другой окружности с центром C. Известно, что угол ABD больше угла AHG на 12°. Найдите градусную меру угла BAG.
Вариант 3.
Точки A, B, C, D и E последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой окружности.
Точки E, F, G, H, I и A последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой другой окружности с центром C. Известно, что угол ABD больше угла AHG на 19°. Найдите градусную меру угла DAI.
Вариант 4.
Точки A, B, C, D и E последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой окружности.
Точки E, F, G, H, I и A последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой другой окружности с центром C. Известно, что угол ABD больше угла AHG на 5°. Найдите градусную меру угла BAH.
Скачать полные задания и ответы