Школьный этап ВсОШ по математике 11 класс 2026–2027: задания, ответы и разбор решений!13 октября 2026 года на платформе «Сириус» (siriusolymp.ru) проходит школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике для учащихся 11 класса из 2 группы регионов. В публикации собрана информация о заданиях олимпиады, ответах и авторских решениях. Пошаговый разбор поможет понять логику задач, сравнить способы решения и разобраться в сложных моментах.
Задание 1. Вариант 1.
При каком наименьшем натуральном n выполняется неравенство
sin((n² + 7n)°) · cos((n² + 7n)°) < 0?
Вариант 2.
При каком наименьшем натуральном n выполняется неравенство
sin((n² + 11n)°) · cos((n² + 11n)°) < 0?
Вариант 3.
При каком наименьшем натуральном n выполняется неравенство
sin((n² + 5n)°) · cos((n² + 5n)°) < 0?
Вариант 4.
При каком наименьшем натуральном n выполняется неравенство
sin((n² + 3n)°) · cos((n² + 3n)°) < 0?
Скачать полные задания и ответыЗадание 2. Вариант 1.
Последовательность задана условиями
a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) для всех натуральных n.
Найдите a₁₅₀.
Вариант 2.
Последовательность задана условиями
a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) для всех натуральных n.
Найдите a₂₅₀.
Вариант 3.
Последовательность задана условиями
a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) для всех натуральных n.
Найдите a₁₀₀.
Вариант 4.
Последовательность задана условиями
a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) для всех натуральных n.
Найдите a₂₀₀.
Скачать полные задания и ответыЗадание 3. Вариант 1.
Пять различных натуральных чисел имеют среднее арифметическое 20, а их медиана равна 23. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего из этих пяти чисел.
Вариант 2.
Пять различных натуральных чисел имеют среднее арифметическое 17, а их медиана равна 20. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего из этих пяти чисел.
Вариант 3.
Пять различных натуральных чисел имеют среднее арифметическое 15, а их медиана равна 18. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего из этих пяти чисел.
Вариант 4.
Пять различных натуральных чисел имеют среднее арифметическое 22, а их медиана равна 25. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего из этих пяти чисел.
Скачать полные задания и ответыЗадание 4. Вариант 1.
Основание ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD — квадрат со стороной 4, а SC = 2 — её высота. Точка P лежит на прямой AS. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника BDP.
Вариант 2.
Основание ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD — квадрат со стороной 8, а SC = 4 — её высота. Точка P лежит на прямой AS. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника BDP.
Вариант 3.
Основание ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD — квадрат со стороной 10, а SC = 5 — её высота. Точка P лежит на прямой AS. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника BDP.
Вариант 4.
Основание ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD — квадрат со стороной 2, а SC = 1 — её высота. Точка P лежит на прямой AS. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника BDP.
Скачать полные задания и ответыЗадание 5. Вариант 1.
Для каких натуральных значений m уравнение x² − (m + 6)x + 4m = 0 имеет два различных натуральных корня? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 2.
Для каких натуральных значений m уравнение x² − (m + 5)x + 3m = 0 имеет два различных натуральных корня? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 3.
Для каких натуральных значений m уравнение x² − (m + 7)x + 5m = 0 имеет два различных натуральных корня? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 4.
Для каких натуральных значений m уравнение x² − (m + 9)x + 7m = 0 имеет два различных натуральных корня? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Скачать полные задания и ответыЗадание 6. Вариант 1.
На доске нарисован клетчатый прямоугольник 2 × 80. Будем считать две клетки соседними, если они имеют общую сторону. Сколькими способами можно закрасить ровно 79 клеток так, чтобы среди них не было соседних?
Вариант 2.
На доске нарисован клетчатый прямоугольник 2 × 140. Будем считать две клетки соседними, если они имеют общую сторону. Сколькими способами можно закрасить ровно 139 клеток так, чтобы среди них не было соседних?
Вариант 3.
На доске нарисован клетчатый прямоугольник 2 × 120. Будем считать две клетки соседними, если они имеют общую сторону. Сколькими способами можно закрасить ровно 119 клеток так, чтобы среди них не было соседних?
Вариант 4.
На доске нарисован клетчатый прямоугольник 2 × 100. Будем считать две клетки соседними, если они имеют общую сторону. Сколькими способами можно закрасить ровно 99 клеток так, чтобы среди них не было соседних?
Скачать полные задания и ответыЗадание 7. Вариант 1.
В треугольнике ABC ∠ABC = 55°, ∠BAC = 63°. Точка M является серединой стороны BC. Окружность, касающаяся BC в точке B и отрезка AM, пересекает сторону AB в точке P. Окружность, касающаяся BC в точке C и отрезка AM, пересекает сторону AC в точке Q. Найдите угол APQ. Ответ выразите в градусах.
Вариант 2.
В треугольнике ABC ∠ABC = 54°, ∠BAC = 67°. Точка M является серединой стороны BC. Окружность, касающаяся BC в точке B и отрезка AM, пересекает сторону AB в точке P. Окружность, касающаяся BC в точке C и отрезка AM, пересекает сторону AC в точке Q. Найдите угол APQ. Ответ выразите в градусах.
Вариант 3.
В треугольнике ABC ∠ABC = 53°, ∠BAC = 66°. Точка M является серединой стороны BC. Окружность, касающаяся BC в точке B и отрезка AM, пересекает сторону AB в точке P. Окружность, касающаяся BC в точке C и отрезка AM, пересекает сторону AC в точке Q. Найдите угол APQ. Ответ выразите в градусах.
Вариант 4.
В треугольнике ABC ∠ABC = 57°, ∠BAC = 65°. Точка M является серединой стороны BC. Окружность, касающаяся BC в точке B и отрезка AM, пересекает сторону AB в точке P. Окружность, касающаяся BC в точке C и отрезка AM, пересекает сторону AC в точке Q. Найдите угол APQ. Ответ выразите в градусах.
Скачать полные задания и ответыЗадание 8. Вариант 1.
Приведённый многочлен четвёртой степени P(x) удовлетворяет условиям P(2ⁿ + 1) = 8ⁿ + 1 для n = 1, 2, 3, 4. Найдите P(1).
Вариант 2.
Приведённый многочлен четвёртой степени P(x) удовлетворяет условиям P(2ⁿ + 1) = 8ⁿ + 1 для n = 0, 2, 3, 4. Найдите P(1).
Вариант 3.
Приведённый многочлен четвёртой степени P(x) удовлетворяет условиям P(2ⁿ + 1) = 8ⁿ + 1 для n = 0, 1, 2, 4. Найдите P(1).
Вариант 4.
Приведённый многочлен четвёртой степени P(x) удовлетворяет условиям P(2ⁿ + 1) = 8ⁿ + 1 для n = 0, 1, 2, 5. Найдите P(1).
Скачать полные задания и ответы