В подборке представлены задания и разборы школьного этапа ВсОШ «Взлёт» по математике для учащихся 10 класса Московской области (50 регион) от 26 сентября 2026 года. Материалы охватывают алгебру, геометрию, уравнения и неравенства, функции, делимость, числовые последовательности и комбинаторные задачи. Также собраны нестандартные олимпиадные задания, требующие применения математической логики, анализа и различных методов решения.
МАТЕМАТИКА. 10 КЛАСС. ВАРИАНТЫ 1–5
Вариант 1.
Задание 1. Площадь трапеции
В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
В трапеции MNPT с основаниями NP и MT известно, что MN = NP и 2MN = MT. Диагональ MP равна 11, а боковая сторона PT равна 7. Найдите площадь трапеции.
Скачать полные задания и ответы
Задание 2. Многочлен
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Многочлен P(x) = (x² − 5x + 4)⁴ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x⁸ + a₁x⁷ + ⋯ + a₈.
1. Найдите свободный коэффициент a₈ этого многочлена.
2. Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₈ всех коэффициентов многочлена.
Скачать полные задания и ответы
Задание 3. Натуральные делители
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 18 различных натуральных делителей. Чему равно это число?
Скачать полные задания и ответы
Задание 4. Пенальти
Футболист бьёт четыре пенальти подряд. Каждый удар он забивает с вероятностью 0,5 независимо от остальных, но есть одна особенность: если удар не забит, то футболист собирается – и следующий удар забивает обязательно.
1. Сколько благоприятных исходов для события «в условиях задачи из четырёх ударов будет забито ровно два»? В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
2. Какова вероятность того, что из четырёх ударов будет забито ровно два? В качестве ответа вводите число. Если ответом является бесконечная десятичная дробь, округлите её до трёх знаков после запятой. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,145
Скачать полные задания и ответы
Задание 5. Трафик
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В стране 20 городов, некоторые из них соединены двусторонними дорогами, причём из каждого города выходит ровно 3 дороги. Из любого города можно добраться в любой другой (возможно, с пересадками).
1. Сколько всего дорог в этой стране?
2. Сколько дорог нужно закрыть, чтобы из любого города по-прежнему можно было добраться до любого другого, но ровно одним способом (то есть без повторного посещения городов маршрут был бы единственным)?
Скачать полные задания и ответы
Задание 6. Раскраска прямоугольника
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Некоторые клетки (хотя бы одну) белого клетчатого квадратного поля закрасили в красный цвет. Оказалось, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Сколько существует различных раскрасок с минимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 8×8 клеток? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
2. Сколько существует различных раскрасок с максимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 4×4 клетки? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
Скачать полные задания и ответы
Задание 7. Фонари на шоссе
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Каждый уличный фонарь освещает на поверхности земли всё вокруг в радиусе 25 метров. Эти фонари ставят на обочины участка прямоугольного шоссе шириной 20 метров и длиной 2030 метров так, чтобы весь участок шоссе был освещён. Какое количество фонарей нужно поставить? В ответ запишите наименьший из возможных вариантов ответа.
Скачать полные задания и ответы
Задание 8. Лестница
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Лестница на чердак состоит из 10 ступенек. Петя поднимается по ней, за один шаг либо наступая на следующую ступеньку, либо перепрыгивая ровно через одну (то есть поднимаясь на 1 или на 2 ступеньки). Сколькими различными способами Петя может подняться с подножия лестницы на самую верхнюю ступеньку?
Скачать полные задания и ответы
Вариант 2.
Задание 1. Площадь трапеции
В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
В трапеции MNPT с основаниями NP и MT известно, что MN = NP и 2MN = MT. Диагональ MP равна 7, а боковая сторона PT равна 5. Найдите площадь трапеции.
Скачать полные задания и ответы
Задание 2. Многочлен
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Многочлен P(x) = (x² − 3x + 2)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆.
1. Найдите свободный коэффициент a₁₆ этого многочлена.
2. Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
Скачать полные задания и ответы
Задание 3. Пенальти
Футболист бьёт четыре пенальти подряд. Каждый удар он забивает с вероятностью 0,4 независимо от остальных, но есть одна особенность: если удар не забит, то футболист собирается – и следующий удар забивает обязательно.
1. Сколько благоприятных исходов для события «в условиях задачи из четырёх ударов будет забито ровно два»? В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
2. Какова вероятность того, что из четырёх ударов будет забито ровно два? В качестве ответа вводите число. Если ответом является бесконечная десятичная дробь, округлите её до трёх знаков после запятой. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,145
Скачать полные задания и ответы
Задание 4. Трафик
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В стране 16 городов, некоторые пары городов соединены двусторонними дорогами, причём из каждого города выходит ровно 3 дороги. Из любого города можно добраться в любой другой (возможно, с пересадками).
1. Сколько всего дорог в этой стране?
2. Сколько дорог нужно закрыть, чтобы из любого города по-прежнему можно было добраться до любого другого, но ровно одним способом (то есть без повторного посещения городов маршрут был бы единственным)?
Скачать полные задания и ответы
Задание 5. Раскраска прямоугольника
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Некоторые клетки (хотя бы одну) белого клетчатого квадратного поля закрасили в красный цвет. Оказалось, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Сколько существует различных раскрасок с минимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 4×4 клетки? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
2. Сколько существует различных раскрасок с максимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 4×4 клетки? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
Скачать полные задания и ответы
Задание 6. Фонари на шоссе
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Каждый уличный фонарь освещает на поверхности земли всё вокруг в радиусе 25 метров. Эти фонари ставят на обочины участка прямоугольного шоссе шириной 20 метров и длиной 2350 метров так, чтобы весь участок шоссе был освещён. Какое количество фонарей нужно поставить? В ответ запишите наименьший из возможных вариантов ответа.
Задание 7. Лестница
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Лестница на чердак состоит из 8 ступенек. Петя поднимается по ней, за один шаг либо наступая на следующую ступеньку, либо перепрыгивая ровно через одну (то есть поднимаясь на 1 или на 2 ступеньки). Сколькими различными способами Петя может подняться с подножия лестницы на самую верхнюю ступеньку?
Задание 8. Натуральные делители
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 10 различных натуральных делителей. Чему равно это число?
Скачать полные задания и ответы
Вариант 3.
Задание 1. Площадь трапеции
В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
В трапеции MNPT с основаниями NP и MT известно, что MN = NP и 2MN = MT. Диагональ MP равна 13, а боковая сторона PT равна 11. Найдите площадь трапеции.
Скачать полные задания и ответы
Задание 2. Многочлен
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Многочлен P(x) = (x² − 4x + 3)⁶ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹² + a₁x¹¹ + ⋯ + a₁₂.
1. Найдите свободный коэффициент a₁₂ этого многочлена.
2. Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₁₂ всех коэффициентов многочлена.
Скачать полные задания и ответы
Задание 3. Пенальти
Футболист бьёт четыре пенальти подряд. Каждый удар он забивает с вероятностью 0,3 независимо от остальных, но есть одна особенность: если удар не забит, то футболист собирается – и следующий удар забивает обязательно.
1. Сколько благоприятных исходов для события «в условиях задачи из четырёх ударов будет забито ровно два»? В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
2. Какова вероятность того, что из четырёх ударов будет забито ровно два? В качестве ответа вводите число. Если ответом является бесконечная десятичная дробь, округлите её до трёх знаков после запятой. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,145
Скачать полные задания и ответы
Задание 4. Трафик
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В стране 24 города, некоторые пары городов соединены двусторонними дорогами, причём из каждого города выходит ровно 3 дороги. Из любого города можно добраться в любой другой (возможно, с пересадками).
1. Сколько всего дорог в этой стране?
2. Сколько дорог нужно закрыть, чтобы из любого города по-прежнему можно было добраться до любого другого, но ровно одним способом (то есть без повторного посещения городов маршрут был бы единственным)?
Скачать полные задания и ответы
Задание 5. Раскраска прямоугольника
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Некоторые клетки (хотя бы одну) белого клетчатого квадратного поля закрасили в красный цвет. Оказалось, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Сколько существует различных раскрасок с минимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 5×5 клеток? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
2. Сколько существует различных раскрасок с максимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 4×4 клетки? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
Скачать полные задания и ответы
Задание 6. Фонари на шоссе
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Каждый уличный фонарь освещает на поверхности земли всё вокруг в радиусе 25 метров. Эти фонари ставят на обочины участка прямоугольного шоссе шириной 20 метров и длиной 1950 метров так, чтобы весь участок шоссе был освещён. Какое количество фонарей нужно поставить? В ответ запишите наименьший из возможных вариантов ответа.
Скачать полные задания и ответы
Задание 7. Лестница
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Лестница на чердак состоит из 9 ступенек. Петя поднимается по ней, за один шаг либо наступая на следующую ступеньку, либо перепрыгивая ровно через одну (то есть поднимаясь на 1 или на 2 ступеньки). Сколькими различными способами Петя может подняться с подножия лестницы на самую верхнюю ступеньку?
Скачать полные задания и ответы
Задание 8. Натуральные делители
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 14 различных натуральных делителей. Чему равно это число?
Скачать полные задания и ответы
Вариант 4.
Задание 1. Площадь трапеции
В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
В трапеции MNPT с основаниями NP и MT известно, что MN = NP и 2MN = MT. Диагональ MP равна 11, а боковая сторона PT равна 9. Найдите площадь трапеции.
Скачать полные задания и ответы
Задание 2. Многочлен
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Многочлен P(x) = (x² − 3x + 3)⁶ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹² + a₁x¹¹ + ⋯ + a₁₂.
1. Найдите свободный коэффициент a₁₂ этого многочлена.
2. Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₁₂ всех коэффициентов многочлена.
Скачать полные задания и ответы
Задание 3. Пенальти
Футболист бьёт пять пенальти подряд. Каждый удар он забивает с вероятностью 0,5 независимо от остальных, но есть одна особенность: если удар не забит, то футболист собирается – и следующий удар забивает обязательно.
1. Сколько благоприятных исходов для события «в условиях задачи из пяти ударов будет забито ровно три»? В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
2. Какова вероятность того, что из пяти ударов будет забито ровно три? В качестве ответа вводите число. Если ответом является бесконечная десятичная дробь, округлите её до четырёх знаков после запятой. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,1415
Скачать полные задания и ответы
Задание 4. Трафик
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В стране 14 городов, некоторые пары городов соединены двусторонними дорогами, причём из каждого города выходит ровно 4 дороги. Из любого города можно добраться в любой другой (возможно, с пересадками).
1. Сколько всего дорог в этой стране?
2. Сколько дорог нужно закрыть, чтобы из любого города по-прежнему можно было добраться до любого другого, но ровно одним способом (то есть без повторного посещения городов маршрут был бы единственным)?
Скачать полные задания и ответы
Задание 5. Раскраска прямоугольника
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Некоторые клетки (хотя бы одну) белого клетчатого квадратного поля закрасили в красный цвет. Оказалось, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Сколько существует различных раскрасок с минимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 6×6 клеток? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
2. Сколько существует различных раскрасок с максимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 4×4 клетки? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
Скачать полные задания и ответы
Задание 6. Фонари на шоссе
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Каждый уличный фонарь освещает на поверхности земли всё вокруг в радиусе 25 метров. Эти фонари ставят на обочины участка прямоугольного шоссе шириной 20 метров и длиной 2270 метров так, чтобы весь участок шоссе был освещён. Какое количество фонарей нужно поставить? В ответ запишите наименьший из возможных вариантов ответа.
Скачать полные задания и ответы
Задание 7. Лестница
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Лестница на чердак состоит из 11 ступенек. Петя поднимается по ней, за один шаг либо наступая на следующую ступеньку, либо перепрыгивая ровно через одну (то есть поднимаясь на 1 или на 2 ступеньки). Сколькими различными способами Петя может подняться с подножия лестницы на самую верхнюю ступеньку?
Скачать полные задания и ответы
Задание 8. Натуральные делители
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 16 различных натуральных делителей. Чему равно это число?
Скачать полные задания и ответы
Вариант 5.
Задание 1. Площадь трапеции
В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
В трапеции MNPT с основаниями NP и MT известно, что MN = NP и 2MN = MT. Диагональ MP равна 13, а боковая сторона PT равна 11. Найдите площадь трапеции.
Скачать полные задания и ответы
Задание 2. Многочлен
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Многочлен P(x) = (x² − 2x + 2)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆.
1. Найдите свободный коэффициент a₁₆ этого многочлена.
2. Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
Скачать полные задания и ответы
Задание 3. Пенальти
Футболист бьёт пять пенальти подряд. Каждый удар он забивает с вероятностью 0,4 независимо от остальных, но есть одна особенность: если удар не забит, то футболист собирается – и следующий удар забивает обязательно.
1. Сколько благоприятных исходов для события «в условиях задачи из пяти ударов будет забито ровно два»? В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
2. Какова вероятность того, что из пяти ударов будет забито ровно два? В качестве ответа вводите число. Если ответом является бесконечная десятичная дробь, округлите её до трёх знаков после запятой. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,145
Скачать полные задания и ответы
Задание 4. Трафик
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В стране 12 городов, некоторые пары городов соединены двусторонними дорогами, причём из каждого города выходит ровно 5 дорог. Из любого города можно добраться в любой другой (возможно, с пересадками).
1. Сколько всего дорог в этой стране?
2. Сколько дорог нужно закрыть, чтобы из любого города по-прежнему можно было добраться до любого другого, но ровно одним способом (то есть без повторного посещения городов маршрут был бы единственным)?
Скачать полные задания и ответы
Задание 5. Раскраска прямоугольника
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Некоторые клетки (хотя бы одну) белого клетчатого квадратного поля закрасили в красный цвет. Оказалось, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Сколько существует различных раскрасок с минимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 7×7 клеток? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
2. Сколько существует различных раскрасок с максимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 4×4 клетки? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
Скачать полные задания и ответы
Задание 6. Фонари на шоссе
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Каждый уличный фонарь освещает на поверхности земли всё вокруг в радиусе 25 метров. Эти фонари ставят на обочины участка прямоугольного шоссе шириной 20 метров и длиной 2110 метров так, чтобы весь участок шоссе был освещён. Какое количество фонарей нужно поставить? В ответ запишите наименьший из возможных вариантов ответа.
Скачать полные задания и ответы
Задание 7. Лестница
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Лестница на чердак состоит из 12 ступенек. Петя поднимается по ней, за один шаг либо наступая на следующую ступеньку, либо перепрыгивая ровно через одну (то есть поднимаясь на 1 или на 2 ступеньки). Сколькими различными способами Петя может подняться с подножия лестницы на самую верхнюю ступеньку?
Скачать полные задания и ответы
Задание 8. Натуральные делители
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 10 различных натуральных делителей. Чему равно это число?
Скачать полные задания и ответы