В подборке собраны задания и разборы школьного этапа ВсОШ «Взлёт» по математике для учащихся 11 класса Московской области (50 регион) от 26 сентября 2026 года. Материалы включают задачи по алгебре и геометрии, функциям, уравнениям и неравенствам, числовым последовательностям, делимости, комбинаторике и математической логике. Отдельное внимание уделено нестандартным олимпиадным задачам, требующим глубокого анализа, обоснования решений и применения различных математических методов.
МАТЕМАТИКА. 11 КЛАСС. ВАРИАНТЫ 1–5
Вариант 1.
Задание 1. Коэффициенты многочлена
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Многочлен P(x) = (2x² − x − 1)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆.
1. Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
2. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + ⋯ + a₁₆.
Ответ:1)0 2)128
Скачать полные задания и ответы
Задание 2. Разбиение треугольника
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A′, B′ и C′ так, что отрезки AA′, BB′ и CC′ пересекаются в точке M. Оказалось, что площади треугольников AMB′ и AMC′ равны 5, а площадь треугольника BMC′ равна 10.
1. Найдите площадь треугольника MCB′.
2. Найдите площадь треугольника ABC.
Ответ:1)10 2)25
Скачать полные задания и ответы
Задание 3. Колебания
В качестве ответа вводите число. Если ответом является бесконечная десятичная дробь, округлите её до сотых. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Пусть f(x) = sin(x + π/4) · sin(x + 3π/4) · sin(x + 5π/4) · sin(x + 7π/4).
1. Найдите наибольшее значение функции f(x).
2. Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) − f(y).
Ответ: 1)1 2)0,25
Скачать полные задания и ответы
Задание 4. Очень дружный класс
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В одном очень дружном классе, состоящем из 24 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.
1. Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
2. Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.
Ответ:
Скачать полные задания и ответы
Задание 5. Минимальное расстояние
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки M и N, что углы ∠AMB и ∠DNC – прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка MN равно 4. Найдите периметр исходного шестиугольника.
Ответ:
Скачать полные задания и ответы
Задание 6. Последовательность
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Последовательность {aₙ} задана условиями a₁ = 1/4, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ), где n = 1, 2, 3, …. Известно, что a₂₀₂₆ = 1/N, где N – некоторое натуральное число.
1. Чему равно N?
2. Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000? Укажите наименьшее такое n.
Ответ:
Скачать полные задания и ответы
Задание 7. Одинаковые цифры
Натуральное число A кратно 99, а его десятичная запись состоит только из восьмёрок. Натуральное число B кратно 99, а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра – не восьмёрка, а все остальные – восьмёрки.
1. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа A? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
2. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа B? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
3. Запишите наименьшее из возможных значений B. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Ответ:
Скачать полные задания и ответы
Задание 8. Рожки
Пятеро ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.
1. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
2. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
3. Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой – наименьшее из возможных». В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
4. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой». В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Ответ:
Скачать полные задания и ответы
Вариант 2.
Задание 1. Коэффициенты многочлена
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Многочлен P(x) = (2x² − 2x − 1)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆.
1. Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
2. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + ⋯ + a₁₆.
Ответ: 1)1 2)3281
Задание 2. Разбиение треугольника
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A′, B′ и C′ так, что отрезки AA′, BB′ и CC′ пересекаются в точке M. Оказалось, что площади треугольников AMB′ и AMC′ равны 1, а площадь треугольника BMC′ равна 2.
1. Найдите площадь треугольника MCB′.
2. Найдите площадь треугольника ABC.
Ответ: 1)2 2)5
Скачать полные задания и ответы
Задание 3. Очень дружный класс
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В одном очень дружном классе, состоящем из 28 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.
1. Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
2. Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.
Ответ: 1)7 2)610
Скачать полные задания и ответы
Задание 4. Минимальное расстояние
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки M и N, что углы ∠AMB и ∠DNC – прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка MN равно 5. Найдите периметр исходного шестиугольника.
Ответ:
Скачать полные задания и ответы
Задание 5. Последовательность
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Последовательность {aₙ} задана условиями a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ), где n = 1, 2, 3, …. Известно, что a₂₀₂₆ = 1/N, где N – некоторое натуральное число.
1. Чему равно N?
2. Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000? Укажите наименьшее такое n.
Ответ:
Скачать полные задания и ответы
Задание 6. Одинаковые цифры
Натуральное число A кратно 99, а его десятичная запись состоит только из семёрок. Натуральное число B кратно 99, а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра – не семёрка, а все остальные – семёрки.
1. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа A? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
2. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа B? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
3. Запишите наименьшее из возможных значений B. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Ответ:
Скачать полные задания и ответы
Задание 7. Рожки
Семеро ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.
1. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
2. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
3. Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой – наименьшее из возможных». В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
4. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой». В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Ответ:
Скачать полные задания и ответы
Задание 8. Колебания
В качестве ответа вводите число. Если ответом является бесконечная десятичная дробь, округлите её до сотых. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Пусть f(x) = sin(x + π/4) · sin(x + 3π/4) · sin(x − π/4) · sin(x − 3π/4).
1. Найдите наибольшее значение функции f(x).
2. Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) − f(y).
Ответ:
Скачать полные задания и ответы
Вариант 3.
Задание 1. Коэффициенты многочлена
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Многочлен P(x) = (x² − 2x − 2)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆.
1. Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
2. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + ⋯ + a₁₆.
Ответ: 1)6561 2)3281
Скачать полные задания и ответы
Задание 2. Разбиение треугольника
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A′, B′ и C′ так, что отрезки AA′, BB′ и CC′ пересекаются в точке M. Оказалось, что площади треугольников AMB′ и AMC′ равны 2, а площадь треугольника BMC′ равна 4.
1. Найдите площадь треугольника MCB′.
2. Найдите площадь треугольника ABC.
Ответ: 1)4 2)10
Скачать полные задания и ответы
Задание 3. Очень дружный класс
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В одном очень дружном классе, состоящем из 23 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.
1. Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
2. Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.
Ответ: 1)7 2)610
Скачать полные задания и ответы
Задание 4. Минимальное расстояние
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки M и N, что углы ∠AMB и ∠DNC – прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка MN равно 3. Найдите периметр исходного шестиугольника.
Ответ:
Скачать полные задания и ответы
Задание 5. Последовательность
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Последовательность {aₙ} задана условиями a₁ = 1/7, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ), где n = 1, 2, 3, …. Известно, что a₂₀₂₆ = 1/N, где N – некоторое натуральное число.
1. Чему равно N?
2. Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000? Укажите наименьшее такое n.
Ответ:
Скачать полные задания и ответы
Задание 6. Одинаковые цифры
Натуральное число A кратно 99, а его десятичная запись состоит только из четвёрок. Натуральное число B кратно 99, а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра – не четвёрка, а все остальные – четвёрки.
1. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа A? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
2. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа B? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
3. Запишите наименьшее из возможных значений B. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Ответ:
Скачать полные задания и ответы
Задание 7. Рожки
Восемь ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.
1. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
2. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
3. Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой – наименьшее из возможных». В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
4. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой». В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Ответ:
Скачать полные задания и ответы
Задание 8. Колебания
В качестве ответа вводите число. Если ответом является бесконечная десятичная дробь, округлите её до сотых. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Пусть f(x) = sin(x − π/4) · sin(x − 3π/4) · sin(x − 5π/4) · sin(x − 7π/4).
1. Найдите наибольшее значение функции f(x).
2. Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) − f(y).
Ответ:
Скачать полные задания и ответы
Вариант 4.
Задание 1. Коэффициенты многочлена
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Многочлен P(x) = (2x² − x − 3)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆.
1. Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
2. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + ⋯ + a₁₆.
Ответ: 1)256 2)128
Скачать полные задания и ответы
Задание 2. Разбиение треугольника
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A′, B′ и C′ так, что отрезки AA′, BB′ и CC′ пересекаются в точке M. Оказалось, что площади треугольников AMB′ и AMC′ равны 3, а площадь треугольника BMC′ равна 6.
1. Найдите площадь треугольника MCB′.
2. Найдите площадь треугольника ABC.
Ответ: 1)6 2)15
Скачать полные задания и ответы
Задание 3. Очень дружный класс
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В одном очень дружном классе, состоящем из 22 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.
1. Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
2. Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.
Ответ: 1)6 2)610
Скачать полные задания и ответы
Задание 4. Минимальное расстояние
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки M и N, что углы ∠AMB и ∠DNC – прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка MN равно 2. Найдите периметр исходного шестиугольника.
Ответ:
Скачать полные задания и ответы
Задание 5. Последовательность
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Последовательность {aₙ} задана условиями a₁ = 1/10, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ), где n = 1, 2, 3, …. Известно, что a₂₀₂₆ = 1/N, где N – некоторое натуральное число.
1. Чему равно N?
2. Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000? Укажите наименьшее такое n.
Ответ:
Скачать полные задания и ответы
Задание 6. Одинаковые цифры
Натуральное число A кратно 99, а его десятичная запись состоит только из двоек. Натуральное число B кратно 99, а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра – не двойка, а все остальные – двойки.
1. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа A? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
2. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа B? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
3. Запишите наименьшее из возможных значений B. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Ответ:
Скачать полные задания и ответы
Задание 7. Рожки
Шестеро ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.
1. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
2. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
3. Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой – наименьшее из возможных». В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
4. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой». В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Ответ:
Скачать полные задания и ответы
Задание 8. Колебания
В качестве ответа вводите число. Если ответом является бесконечная десятичная дробь, округлите её до сотых. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Пусть f(x) = sin(x + π/4) · sin(x − π/4) · sin(x − 3π/4) · sin(x − 5π/4).
1. Найдите наибольшее значение функции f(x).
2. Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) − f(y).
Ответ:
Скачать полные задания и ответы
Вариант 5.
Задание 1. Коэффициенты многочлена
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Многочлен P(x) = (2x² − x − 2)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆.
1. Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
2. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + ⋯ + a₁₆.
Ответ: 1)1 2)1
Скачать полные задания и ответы
Задание 2. Разбиение треугольника
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A′, B′ и C′ так, что отрезки AA′, BB′ и CC′ пересекаются в точке M. Оказалось, что площади треугольников AMB′ и AMC′ равны 4, а площадь треугольника BMC′ равна 8.
1. Найдите площадь треугольника MCB′.
2. Найдите площадь треугольника ABC.
Ответ: 1)8 2)20
Скачать полные задания и ответы
Задание 3. Очень дружный класс
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В одном очень дружном классе, состоящем из 30 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.
1. Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
2. Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.
Ответ: 1)5 2)1015
Скачать полные задания и ответы
Задание 4. Минимальное расстояние
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки M и N, что углы ∠AMB и ∠DNC – прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка MN равно 1. Найдите периметр исходного шестиугольника.
Ответ:
Скачать полные задания и ответы
Задание 5. Последовательность
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Последовательность {aₙ} задана условиями a₁ = 1/13, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ), где n = 1, 2, 3, …. Известно, что a₂₀₂₆ = 1/N, где N – некоторое натуральное число.
1. Чему равно N?
2. Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000? Укажите наименьшее такое n.
Ответ:
Скачать полные задания и ответы
Задание 6. Одинаковые цифры
Натуральное число A кратно 99, а его десятичная запись состоит только из единиц. Натуральное число B кратно 99, а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра – не единица, а все остальные – единицы.
1. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа A? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
2. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа B? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
3. Запишите наименьшее из возможных значений B. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Ответ:
Скачать полные задания и ответы
Задание 7. Рожки
Девять ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.
1. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
2. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
3. Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой – наименьшее из возможных». В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
4. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой». В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Ответ:
Скачать полные задания и ответы
Задание 8. Колебания
В качестве ответа вводите число. Если ответом является бесконечная десятичная дробь, округлите её до сотых. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Пусть f(x) = sin(x − π/4) · sin(x + π/4) · sin(x + 3π/4) · sin(x + 5π/4).
1. Найдите наибольшее значение функции f(x).
2. Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) − f(y).
Ответ:
Скачать полные задания и ответы