Математика 9 класс — школьный этап Всероссийской олимпиады школьников «Сириус» от 16 октября 2026 года. Ищите задания, ответы и разборы решений для 3-й группы регионов на платформе SiriusOlimp (uts.sirius.online).
Среди заданий олимпиады — задачи о стоимости проката сапогов-скороходов, геометрическом свойстве треугольника, числах на доске Тарзана и расстановке нечётных чисел. Также рассматриваются маршрут Красной Шапочки и Волка, последовательности с определёнными суммами, расстояние между центрами двух пересекающихся окружностей и функция, заданная нестандартным условием.
Обратите внимание: отдельные задачи могут требовать перечисления всех возможных ответов или выбора нескольких верных утверждений. Сверяйте свой вариант с условием из публикации, поскольку параметры и числовые интервалы могут отличаться. Подборка пригодится для самостоятельного анализа решений и подготовки к будущим математическим олимпиадам.
Задание 1.1. В июне прокат сапогов-скороходов стоил 1200 рублей за одну пару. В июле компанию оштрафовали, и она подняла стоимость проката. В результате количество пар сапогов-скороходов, выданных за месяц, сократилось на 22 %, а общая выручка за месяц сервиса упала на 9 %. Сколько стал стоить прокат одной пары в июле, если стоимость пары оставалась постоянной в течение июля и никаких других услуг, кроме проката сапогов-скороходов, компания не оказывала? Ответ выразите в рублях.
Скачать полные задания и ответы
Задание 1.2. В июне прокат сапогов-скороходов стоил 1500 рублей за одну пару. В июле компанию оштрафовали, и она подняла стоимость проката. В результате количество пар сапогов-скороходов, выданных за месяц, сократилось на 43 %, а общая выручка за месяц сервиса упала на 5 %. Сколько стал стоить прокат одной пары в июле, если стоимость пары оставалась постоянной в течение июля и никаких других услуг, кроме проката сапогов-скороходов, компания не оказывала? Ответ выразите в рублях.
Скачать полные задания и ответы
Задание 1.3. В июне прокат сапогов-скороходов стоил 1200 рублей за одну пару. В июле компанию оштрафовали, и она подняла стоимость проката. В результате количество пар сапогов-скороходов, выданных за месяц, сократилось на 32 %, а общая выручка за месяц сервиса упала на 15 %. Сколько стал стоить прокат одной пары в июле, если стоимость пары оставалась постоянной в течение июля и никаких других услуг, кроме проката сапогов-скороходов, компания не оказывала? Ответ выразите в рублях.
Скачать полные задания и ответы
Задание 1.4. В июне прокат сапогов-скороходов стоил 1500 рублей за одну пару. В июле компанию оштрафовали, и она подняла стоимость проката. В результате количество пар сапогов-скороходов, выданных за месяц, сократилось на 45 %, а общая выручка за месяц сервиса упала на 12 %. Сколько стал стоить прокат одной пары в июле, если стоимость пары оставалась постоянной в течение июля и никаких других услуг, кроме проката сапогов-скороходов, компания не оказывала? Ответ выразите в рублях.
Скачать полные задания и ответы
Задание 2.1. К стороне AC треугольника ABC провели серединный перпендикуляр, который пересекает сторону AB в точке D. Оказалось, что AD = BC. Чему равен угол ACB, если угол BAC = 26°? Ответ выразите в градусах.
Скачать полные задания и ответы
Задание 2.2. К стороне AC треугольника ABC провели серединный перпендикуляр, который пересекает сторону AB в точке D. Оказалось, что AD = BC. Чему равен угол ACB, если угол BAC = 28°? Ответ выразите в градусах.
Скачать полные задания и ответы
Задание 2.3. К стороне AC треугольника ABC провели серединный перпендикуляр, который пересекает сторону AB в точке D. Оказалось, что AD = BC. Чему равен угол ACB, если угол BAC = 37°? Ответ выразите в градусах.
Скачать полные задания и ответы
Задание 2.4. К стороне AC треугольника ABC провели серединный перпендикуляр, который пересекает сторону AB в точке D. Оказалось, что AD = BC. Чему равен угол ACB, если угол BAC = 32°? Ответ выразите в градусах.
Скачать полные задания и ответы
Задание 3.1. На доске записаны все натуральные числа от 19 до 404 включительно, которые при делении на 7 дают остаток 5. Каждую минуту Тарзан стирает два числа из этого ряда и вместо них записывает их сумму, уменьшенную на 4. Через некоторое время на доске остаётся одно число. Какое число может оказаться записанным на доске в самом конце? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Скачать полные задания и ответы
Задание 3.2. На доске записаны все натуральные числа от 18 до 333 включительно, которые при делении на 7 дают остаток 4. Каждую минуту Тарзан стирает два числа из этого ряда и вместо них записывает их сумму, уменьшенную на 3. Через некоторое время на доске остаётся одно число. Какое число может оказаться записанным на доске в самом конце? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Скачать полные задания и ответы
Задание 3.3. На доске записаны все натуральные числа от 16 до 401 включительно, которые при делении на 7 дают остаток 2. Каждую минуту Тарзан стирает два числа из этого ряда и вместо них записывает их сумму, уменьшенную на 4. Через некоторое время на доске остаётся одно число. Какое число может оказаться записанным на доске в самом конце? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Скачать полные задания и ответы
Задание 3.4. На доске записаны все натуральные числа от 17 до 332 включительно, которые при делении на 7 дают остаток 3. Каждую минуту Тарзан стирает два числа из этого ряда и вместо них записывает их сумму, уменьшенную на 3. Через некоторое время на доске остаётся одно число. Какое число может оказаться записанным на доске в самом конце? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Скачать полные задания и ответы
Задание 4.1. Большой треугольник разделили на девять маленьких треугольников, как показано на рисунке. Назовём линией пять треугольников, прилежащих к одной стороне, например, как на рисунке слева. Всего таких линий три. В треугольнике расставили все нечётные числа от 1 до 17. Оказалось, сумма чисел в каждой из трёх линий равна 45. Чему равна сумма чисел в трёх треугольниках, выделенных на рисунке справа?
Скачать полные задания и ответы
Задание 4.2. Большой треугольник разделили на девять маленьких треугольников, как показано на рисунке. Назовём линией пять треугольников, прилежащих к одной стороне, например, как на рисунке слева. Всего таких линий три. В треугольнике расставили все нечётные числа от 1 до 17. Оказалось, сумма чисел в каждой из трёх линий равна 47. Чему равна сумма чисел в трёх треугольниках, выделенных на рисунке справа?
Скачать полные задания и ответы
Задание 4.3. Большой треугольник разделили на девять маленьких треугольников, как показано на рисунке. Назовём линией пять треугольников, прилежащих к одной стороне, например, как на рисунке слева. Всего таких линий три. В треугольнике расставили все нечётные числа от 1 до 17. Оказалось, сумма чисел в каждой из трёх линий равна 43. Чему равна сумма чисел в трёх треугольниках, выделенных на рисунке справа?
Скачать полные задания и ответы
Задание 4.4. Большой треугольник разделили на девять маленьких треугольников, как показано на рисунке. Назовём линией пять треугольников, прилежащих к одной стороне, например, как на рисунке слева. Всего таких линий три. В треугольнике расставили все нечётные числа от 1 до 17. Оказалось, сумма чисел в каждой из трёх линий равна 39. Чему равна сумма чисел в трёх треугольниках, выделенных на рисунке справа?
Скачать полные задания и ответы
Задание 5.1. От дома Красной Шапочки до бабушки есть две дороги — короткая и длинная, которая в 3.5 раза длиннее короткой. Красная Шапочка всегда ходит по длинной дороге, а Волк — всегда по короткой. Скорость Волка в два раза больше скорости Шапочки. Однажды Красная Шапочка вышла из дома и отправилась к бабушке. Волк караулил Шапочку у её домика, но прозевал, только через час после её выхода обнаружив, что Шапочка ушла. Он тут же бросился бежать к бабушке. Добежав, он ждал Шапочку час, но не дождался и побежал снова к домику Шапочки, не обнаружил её там, мгновенно развернулся и опять побежал к бабушке. За это время Красная Шапочка побывала у бабушки, отдала ей пирожки и к моменту, когда Волк во второй раз прибежал к бабушке, уже ушла. Какие утверждения верны? Выберите все подходящие варианты:
Шапочке идти по короткой дороге менее 20 минут
Шапочке идти по короткой дороге более 20 минут
Шапочке идти по короткой дороге более 40 минут
Шапочке идти по короткой дороге менее 40 минут
Шапочке идти по короткой дороге более часа
Шапочке идти по короткой дороге менее часа
Скачать полные задания и ответы
Задание 5.2. От дома Красной Шапочки до бабушки есть две дороги — короткая и длинная, которая в 2.5 раза длиннее короткой. Красная Шапочка всегда ходит по длинной дороге, а Волк — всегда по короткой. Скорость Волка в два раза больше скорости Шапочки. Однажды Красная Шапочка вышла из дома и отправилась к бабушке. Волк караулил Шапочку у её домика, но прозевал, только через 20 минут после её выхода обнаружив, что Шапочка ушла. Он тут же бросился бежать к бабушке. Добежав, он ждал Шапочку 20 минут, но не дождался и побежал снова к домику Шапочки, не обнаружил её там, мгновенно развернулся и опять побежал к бабушке. За это время Красная Шапочка побывала у бабушки, отдала ей пирожки и к моменту, когда Волк во второй раз прибежал к бабушке, уже ушла. Какие утверждения верны? Выберите все подходящие варианты:
Шапочке идти по короткой дороге более 20 минут
Шапочке идти по короткой дороге менее часа
Шапочке идти по короткой дороге более 40 минут
Шапочке идти по короткой дороге менее 20 минут
Шапочке идти по короткой дороге менее 40 минут
Шапочке идти по короткой дороге более часа
Скачать полные задания и ответы
Задание 5.3. От дома Красной Шапочки до бабушки есть две дороги — короткая и длинная, которая в 3.5 раза длиннее короткой. Красная Шапочка всегда ходит по длинной дороге, а Волк — всегда по короткой. Скорость Волка в два раза больше скорости Шапочки. Однажды Красная Шапочка вышла из дома и отправилась к бабушке. Волк караулил Шапочку у её домика, но прозевал, только через 45 минут после её выхода обнаружив, что Шапочка ушла. Он тут же бросился бежать к бабушке. Добежав, он ждал Шапочку 45 минут, но не дождался и побежал снова к домику Шапочки, не обнаружил её там, мгновенно развернулся и опять побежал к бабушке. За это время Красная Шапочка побывала у бабушки, отдала ей пирожки и к моменту, когда Волк во второй раз прибежал к бабушке, уже ушла. Какие утверждения верны? Выберите все подходящие варианты:
Шапочке идти по короткой дороге менее часа
Шапочке идти по короткой дороге менее 45 минут
Шапочке идти по короткой дороге более часа
Шапочке идти по короткой дороге более 45 минут
Шапочке идти по короткой дороге менее получаса
Шапочке идти по короткой дороге более получаса
Скачать полные задания и ответы
Задание 5.4. От дома Красной Шапочки до бабушки есть две дороги — короткая и длинная, которая в три раза длиннее короткой. Красная Шапочка всегда ходит по длинной дороге, а Волк — всегда по короткой. Скорость Волка в три раза больше скорости Шапочки. Однажды Красная Шапочка вышла из дома и отправилась к бабушке. Волк караулил Шапочку у её домика, но прозевал, только через час после её выхода обнаружив, что Шапочка ушла. Он тут же бросился бежать к бабушке. Добежав, он ждал Шапочку час, но не дождался и побежал снова к домику Шапочки, не обнаружил её там, мгновенно развернулся и опять побежал к бабушке. За это время Красная Шапочка побывала у бабушки, отдала ей пирожки и к моменту, когда Волк во второй раз прибежал к бабушке, уже ушла. Какие утверждения верны? Выберите все подходящие варианты:
Шапочке идти по короткой дороге более часа
Шапочке идти по короткой дороге более получаса
Шапочке идти по короткой дороге менее 45 минут
Шапочке идти по короткой дороге более 45 минут
Шапочке идти по короткой дороге менее получаса
Шапочке идти по короткой дороге менее часа
Скачать полные задания и ответы
Задание 6.1. В строку записаны 26 натуральных чисел. Известно, что сумма любых шести подряд идущих чисел равна 9, а сумма всех чисел равна 40. Сколько расстановок удовлетворяют данным условиям?
Скачать полные задания и ответы
Задание 6.2. В строку записаны 27 натуральных чисел. Известно, что сумма любых пяти подряд идущих чисел равна 8, а сумма всех чисел равна 43. Сколько расстановок удовлетворяют данным условиям?
Скачать полные задания и ответы
Задание 6.3. В строку записаны 32 натуральных числа. Известно, что сумма любых шести подряд идущих чисел равна 8, а сумма всех чисел равна 43. Сколько расстановок удовлетворяют данным условиям?
Скачать полные задания и ответы
Задание 6.4. В строку записаны 37 натуральных чисел. Известно, что сумма любых пяти подряд идущих чисел равна 9, а сумма всех чисел равна 67. Сколько расстановок удовлетворяют данным условиям?
Скачать полные задания и ответы
Задание 7.1. Две окружности ω1 и ω2 с центрами O1 и O2 и радиусами √3 и 1 соответственно пересекаются в двух точках A и B. Через точку B провели прямую, параллельную O1A, которая пересекла окружность ω2 в точке C. Оказалось, что точка C лежит на прямой O1O2 и угол ACB равен 60°. Найдите расстояние между точками O1 и O2.
Скачать полные задания и ответы
Задание 7.2. Две окружности ω1 и ω2 с центрами O1 и O2 и радиусами 4√3 и 4 соответственно пересекаются в двух точках A и B. Через точку B провели прямую, параллельную O1A, которая пересекла окружность ω2 в точке C. Оказалось, что точка C лежит на прямой O1O2 и угол ACB равен 60°. Найдите расстояние между точками O1 и O2.
Скачать полные задания и ответы
Задание 7.3. Две окружности ω1 и ω2 с центрами O1 и O2 и радиусами 2√3 и 2 соответственно пересекаются в двух точках A и B. Через точку B провели прямую, параллельную O1A, которая пересекла окружность ω2 в точке C. Оказалось, что точка C лежит на прямой O1O2 и угол ACB равен 60°. Найдите расстояние между точками O1 и O2.
Скачать полные задания и ответы
Задание 7.4. Две окружности ω1 и ω2 с центрами O1 и O2 и радиусами 3√3 и 3 соответственно пересекаются в двух точках A и B. Через точку B провели прямую, параллельную O1A, которая пересекла окружность ω2 в точке C. Оказалось, что точка C лежит на прямой O1O2 и угол ACB равен 60°. Найдите расстояние между точками O1 и O2.
Скачать полные задания и ответы
Задание 8.1. Функция f, определённая на всех действительных числах, такова, что для каждого x выполняется f(f(x)) = f(x) + 6x + 24.
Чему равно f(-4)?
Известно, что f(0) = -12. Чему равно f(12)?
Скачать полные задания и ответы
Задание 8.2. Функция f, определённая на всех действительных числах, такова, что для каждого x выполняется f(f(x)) = f(x) + 20x + 40.
Чему равно f(-2)?
Известно, что f(0) = -10. Чему равно f(30)?
Скачать полные задания и ответы
Задание 8.3. Функция f, определённая на всех действительных числах, такова, что для каждого x выполняется f(f(x)) = f(x) + 12x + 36.
Чему равно f(-3)?
Известно, что f(0) = -12. Чему равно f(24)?
Скачать полные задания и ответы
Задание 8.4. Функция f, определённая на всех действительных числах, такова, что для каждого x выполняется f(f(x)) = f(x) + 30x + 30.
Чему равно f(-1)?
Известно, что f(0) = -6. Чему равно f(24)?
Скачать полные задания и ответы